ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вещественные особенности из "Аналитические основы небесной механики " Так как дифференциальные уравнения (2,) нелинейны, то теоретико-функциональные проблемы становятся безнадежно сложными, если только допустить неограниченные комплексные значения i или комплексные начальные значения при вещественном 1а. Следовательно, мы будем всюду предполагать, что, с одной стороны, вещественным о соответствуют вещественные начальные значения, так что поскольку функция Н является вещественной при вещественных (т), ), то и решение (2г) будет вещественным при вещественном t. С другой стороны, функции (2г) предполагаются аналитически продолжаемыми, начиная от to, вдоль вещественной оси Конечно, это заставляет учитывать и комплексные t в -некоторой узкой области вдоль рассматриваемого вещественного -интервала. Но все же ниже мы всюду будем считать, если нет соответствующего замечания, что I вещественное. [c.399] Существенно то, что а, р не зависят от выбора i. См. так ке 79. [c.400] Нетрудно показать, что не только lim r t) = О, но и lim r t) = = 0. Действительно, допустим, что lim r t) = О, но lim -(i) 0. Тогда будут существовать число г О и последовательность ti, I2,. .. такие, что r tm) г при любом т, причем im- +Опри т- оо. Следовательно, полагая t = tm, где т — произвольное фиксированное, и используя свойство, указанное в конце предыдущего параграфа, увидим, что тогда (4z) будет иметь место при любом t в интервале i — im] а, где а О не зависит от т. Но тогда, если тп выбрано настолько большим, что интервал I i — im I а содержит предельный момент lim im = О, то r t) Vz при любом i, достаточно близком к i = О и, следовательно, lm -(i) 72 - Так как это противоречит предположению Ит r t) = О, г О, то справедливость условия Ит r t) = О доказана. [c.401] Противоречие, к которому мы пришли, доказывает, что lim7(i) +00. Используя же опять (12z) 333, придем на основании (6) — (61) к выводу, что р1з(0 и р2з(0 стремятся к общему конечному пределу 0. [c.404] В первом случае С = О согласно 335, так что решение должно быть плоским (см. 326). Во втором случае С может и не обращаться в нуль, и если Г О, то решение может не быть плоским. Наконец, если оно не плоское (как это имеет место в общем случае), то все три тела rrii стремятся (см. 353) к положениям, находящимся в инвариантной плоскости. [c.404] Вернуться к основной статье