ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Следствия из консервативных интегралов из "Аналитические основы небесной механики " Заметим, что формулы (42) —(4з) представляют не интегралы, а лишь инвариантные соотношения для уравнений (li), поскольку в них нет произвольных постоянных интегрирования (см. 82). Кроме того, (4з) вытекает из (4z), так как (4г) имеет место при любом t. [c.296] Заметим, что постоянная энергия для решения (3) одна и та же в любой инерциальной барицентрической системе координат (см. (г) 319). [c.297] Покажем, что для плоского решения плоскость П является инвариантной, если для этого решения инвариантная плоскость существует (т. е. если С фО). [c.298] Действительно, если плоскость П существует, то очевидно, что центр масс находится в этой плоскости. Так как положение П не зависит от то можно выбрать барицентрическую инерциальную систему координат так, что плоскость (1 , совпадет с П. Тогда 5п1= О при всех I ж 1. Следовательно, (5) показывает, что имеют место равенства (6). Так как эти равенства представляют собой (см. 323) необходимые и достаточные условия того, что плоскость (1 , 1°) системы совпадает с инвариантной плоскостью в случае С ф доказательство закончено. [c.298] Из единственности начальной задачи для дифференциальных уравнений (11) вытекает, что решение (3) будет плоским тогда и только тогда, когда при фиксированном = о существует такая плоскость, в которой лежат при I = о не только п векторов положения но и ге векторов скоростей 1/. [c.298] Не всякое компланарное решение является плоским. Действительно, хотя любое решение задачи трех тел является компланарным, но, как это следует из последнего замечания в 324, решения этой задачи не являются вообще плоскими. Можно показать, что компланарные, не плоские решения существуют также при любом ге 3 ). [c.298] Вместе с тем предполагалось, что барицентрическая инерциальная система координат выбрана в соответствии с (7). [c.300] В первом случае, когда 51 (г) = О, S2 t) = О, условие (13г) 72 удовлетворяется и, таким образом, ось г вращающейся системы координат I = х, у, г) совпадает с осью инерциальной системы координат I = ( М , ). Учитывая также (8з), придем к выводу, что все п тол движутся, оставаясь в фиксированной плоскости (1 , I ), т. е. что решение плоское. [c.301] Так как / О, то 52(i) = О, sз t) = О, а это условие отличается лишь нумерацией индексов от условия 51 ( ) = О, S2 t) = О в первом случае, проанализированного с помощью (13г) 72. Доказательство закончено. [c.301] Покажем, что в момент сизигий все п тел должны находиться и инвариантной плоскости, если только последняя существует (т. е. если С Ф 0). [c.301] Так как при С ф О соотношение = О представляет собой уравнение инвариантной плоскости, то доказательство закончено. [c.302] Покажем, что в этом случае решение (3) не может существовать при —оо i - -оо, если при некотором конечном I — не происходит столкновения по крайней мере двух из п тел. [c.302] Очевидно, решение тогда является компланарным (см. 325), однако оно может не быть прямолинейным (см. 328), так как допускается изменение прямой Л( ) со временем Ь. Вместе с тем гфямая Л( ) должна вращаться вокруг центра масс, оставаясь в плоскости П, которая сохраняет неизменное положение в барицентрической инерциальной системе координат Другими словами, каждое коллинеарвое решение является плоским. Это вытекает из результатов, изложенных в 327 (случай С Ф 0) или в 326 (случай С = 0). [c.302] Для завершения доказательства достаточно подставить последнее соотношение в (4г). Тогда становится очевидным, что можно не исключать ни одного значения индекса i, т. е. что соотношение Хг = A(i)a , (0) имеет место при всех г = 1,. .., п. [c.303] Так как очевидно, что I ф О, то Я, (г) = onst тогда и только тогда, когда ф = onst. Другими словами, не только форма, но и размеры конфигурации п тел не зависят от t тогда и только тогда, когда угловая скорость ф ( О) вращения прямой Л постоянна. [c.304] Из соотношения же ф Я, о = С , О, /о О, ф О, вытекает, что С ф О, что и утверждалось в конце 330. [c.304] Вернуться к основной статье