ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Разложения по степеням эксцентриситета из "Аналитические основы небесной механики " Из (44i) И (3) или же непосредственно на основании теории рядов Фурье можно сделать вывод, что ряд (51) сходится равномерно по t, при — оо оо и фиксированном значении эксцентриситета е ). [c.259] Следовательно, ряд (55) совпадает при С, к 12 с рядом (58), если положить в первом г = ег. Так как степенной ряд (58) сходится при е р и расходится при е р и так как радиус сходимости ряда (55) при = я / 2 равен р (я / 2) по определению, то доказательство формулы (53г) можно считать законченным ). [c.261] На этом можно считать законченным определение в явном виде коэффициентов разложения (50), рассматривавшегося в 285-288. [c.262] Следовательно, i u onst О при любом если значения комплексной переменней гг достаточно близки к вещественной оси, а комплексная переменная е достаточно мала по модулю. По теореме о локальном существовании неявной функции (аналитической) решение и = и(и, ) уравнения F = О может быть представлено в виде ряда (50), причем этот ряд имеет при любом фиксированном вещественном конечный радиус сходимости р = р(0 и неравенство (53 ) справедливо при достаточно малом положительном р. Тот факт, что это неравенство справедливо при значении р, равном (49), может быть доказан при непосредственном анализе уравнений F = О, Fu = 0. К тому же результату приводит непосредственное исследование ближайших особенностей на римановой поверхности и = и е,Х) при фиксированном вещественном (см. также замечание в конце 292) ). [c.263] Лагранж получил разложение (50) формальным путем и не доказал, что это разложение действительно представляет решение уравнения Кеплера прп каких-либо конкретных значениях е, например, при е 1 /1000. Несколько десятков лет спустя Лапласу показалось, что он заполнил этот пробел, причем Лаплас пришел именно к (53j) —(бЗз). Однако фактически соображения Лапласа носят чисто эвристический характер п ничего не доказывают. [c.263] Эта неудача вполне понятна, так как данную проблему можно решить лишь на основе анализа проведения функций в комплексной области (см. замечание по поводу (ii) в 286), для которого во времена Лапласа еще но было средств. [c.263] Заметим, что основным толчком, приведшим Коши к открытиям в теории функций комплексного переменного, послужило его желание провести удовлетворительный анализ именно ряда Лагранжа. [c.263] Коши пришел к фундаментальной теореме, связывающей радиус схо-дшкшсти с расположением ближайшей особой точки, а также к своему принципу. максимума именно в стап.е, где рассматривались соотношения (Г)3 )-(5З2). Такие факты, которые сейчас известны как принцип аргу.мента и теорема Руше, также были обнаружены в связи с проблемами, возникшими при исследовании уравнения Кеплера. [c.263] Конечные особые точки функции, обратной по отношению к мероморфной функции, являются, как известно, либо алгебраическими точками разветвления, либо трансцендентными особыми точками. Первые определяются по нулям производной, а вторые — по асимптотическим значениям мероморфной функции ). [c.264] В стандартном доказательстве (53i) — (53г), приводимом обычно в учебниках и следующем пути, указанному в 291, учитываются только нули производной функции (66) переменной и (при фиксированном вещественном ). Поэтому это доказательство нельзя считать полным ). [c.264] Точки заострения кривой Г, лежащие на вещественной оси (рис. 9), соответствуют алгебраическим точкам разветвления г = = 1 функции (67). [c.266] Так как функция и г, при любом вещественном аналитическая внутри кривой Г на плоскости г, то, как это видно из рис. 9, при любом положительном ео 1 существует по-иожительное число х = х(ео) такое, что функция и е, X) может быть разложена в ряд по степеням (е — во) с коэффициентами, зависящими от X, сходящийся при любом X, ес.пи только ]е — ео и(ео). Полагая, что ео-)-0, придем, как это видно из рис. 9, к (53,). [c.266] Можно ПОЛОЖИТЬ Z(z) — g(z). Действительно, сравнивая тогда (70), (71) и (72), где Л= Л( ф), увидим, что между кривой Г на плоскости z и кругом Z = 1 на плоскости Z имеется при Z(z) — g(z) непрерывное взаимно однозначное соответствие. Так ьак функция (67) при jz] 1 и, следовательно, внутри кривой Г (см. рис. 9) аналитическая, то из известной теоремы о конформном отображении (Дарбу) вытекает, что функция g(z) определяет конформное взаимно однозначное отображение области инутри Г на область Z 1. [c.267] К такому ряду мы придем на основании (59), если положим там С(гг) = exp ii, Z ( )=sin . [c.268] Вернуться к основной статье