ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Системы с радиальной симметрией из "Аналитические основы небесной механики " Оказывается, что эта проблема сводится к рассмотренной в g 206. При и = 2 этот факт очевиден (см. 179 и 212). Поэтому достаточно показать, что случай п 2 может быть приведен к случаю п — 2. [c.184] Непосредственно подсчитывая постоянные, можем сделать с учетом значений (7з) вывод, что совокупность линейных соотношений (7г) определяет единственную двумерную плоскость П = П (с]2,. .., Сп-1, и), проходящую через начало координат п-мерного пространства [xt), если только не все сд равны нулю. [c.184] Пусть теперь все сд = 0. Тогда из (7i) следует, что отношения Xj t) / Xk t) не зависят от t при любых /, к, т. е. что решение Xi = Xi(t), i = 1, п, представляет прямую линию, проходящую через начало координат xi) = 0. Следовательно, плоскость П существует и в этом случае, хотя она и не определяется тогда единственным образом. [c.185] Так как уравнения (6) описывают динамическую систему именно с подобной функцией Лагранжа, то доказательство можно считать законченным. [c.186] Из сказанного вьппе следует, что наряду с интегралом энергии существует интеграл L = (= onst) или г (/(г) + р ) = с. [c.186] Переход от х, у) к х, у) соответствует введению системы прямоугольных координат (х,у), имеющей общее начало с системой (х, у) и вращающейся с постоянной угловой скоростью, так как Ф = ф — I. Тот факт, что функция (Юг) обратимого и (lOi) необратимого типа, обусловлен кориолисовыми силами, появляющимися вследствие вращения системы (х,у). Наконец различие в выражениях для силовых функций U и U обусловлено появлением центробежных сил. [c.187] Лис произвольны. Фактически соотношения (II2)) (Из), являющиеся необходимыми для функций x t), y t), удовлетворяющих (111), оказываются и достаточными, если исключить случай круговых решений. Но для последних, т. е. когда - - i/ (i) = = onst, из (II2) и (Из) не вытекает (Hj). [c.189] Из (12з) также видно, что движение М на плоскости (ж, у) является при любом t прямым, если с О, и обратным, если с 0. При замене t на —t обратное движение становится прямым, Из (Из) далее видно, что с = О для таких и только таких траекторий, которые представляют собой прямую линию, проходящую через начало координат. [c.190] Таким образом, круговые движения являются периодическими независимо от соизмеримости или несоизмеримости чисел vт и л (см. 215 )). [c.191] Естественно спросить, каков должен быть закон притяжения Ur r), чтобы любое решение х = x(t), у = y t) с постоянными интегрирования А, с, достаточно близкими к постоянным Ао, Со кругового решения (19i), было периодическим и имело период т = т(с. А), стремящийся к периоду (192) кругового решения при с Ао. [c.192] Вследствие появления несоизмеримых частот в общем случае (см. 215) налагаемое требование периодичности является настолько жестким, что оно делает возможным явное определение функции Ur(r). Оказывается, что если исключить тривиальный случай, то сила /г(г) должна быть пропорциональна г , т. е. соответствовать закону притяжения Ньютона (о тривиальном случае см. 219а). [c.192] Эта формула вытекает из изложенного в 189—190, если учесть, что характеристические показатели для решения r(i) = го определяются формулой (20). [c.192] В 241 (и в 267) мы увидим непосредственно, что в этом частном случае функции и г) условия, указанные в 217, действительно выполняются. [c.193] В 219—219а мы увидим, что степень примитивности равна также нулю и для силовой функции Гут а, но отлична от нуля во всех остальных случаях. [c.194] Однако здесь необходима осторожность, поскольку функция (ф, г) должна обладать непрерывными производными. . ., а это условие нарушается, если подынтегральное выражение в (26) обращается в нуль. Правда, сравнивая (26) и (182), приходим к выводу, что обращается тождественно в нуль именно в случае кругового решения. [c.196] Обращение же в нуль выражения при изолированных значениях г (например, при г = г ) не играет никакой роли. [c.196] Однако, положив i = i = io в (I62) —(16g) и используя принятое условие r (io) = о, видим, что ( / ) = 0. [c.197] Следовательно, = О и постоянные (27) сводятся к системе канонических постоянных интегрирования, эквивалентной системе (28) в силу изложенного в 42. [c.197] Таким образом, формулы (29) и (32) определяют при любом фиксированном значении i = onst, удовлетворяющем условию (31i), полностью каноническое преобразование X, У, N, х, у, v) в (S, Н, Z, I, т], р, если только удовлетворяется условие (ЗЬ). [c.198] Вернуться к основной статье