ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решения и канонические преобразования из "Аналитические основы небесной механики " В дальнейшем мы будем использовать следующее свойство соотношения (2г), представляющего необходимое условие для того, чтобы преобразование у = у х, t) являлось каноническим. [c.96] Если заменить в (2г) частную производную У1 = У1 У,1) в (2/1 + 1)-мерном пространстве y,t) полной производной у = у 1) вдоль кривой в фазовом пространстве, то (2г) представит тогда не что иное, как гамильтонову систему с функцией Гамильтона Н. Описывая это свойство, обычно говорят, что канонические преобразования являются контактными преобразованиями. [c.97] Другими словами, х° заменяется произвольным вектором с. = = (с°) с не обращающимся в нуль якобианом (1е1 Сх . Разумеется, вектор с = с х°), а следовательно, и соответствующее общее решение X = х(с,1) должны удовлетворять необходимым условиям дифференцируемости. [c.97] Оказывается, что этот случай имеет место тогда и только тогда, когда консервативное преобразование х = х (с, to) при выбранном соответствующим образам to является каноничеоким с множителем ц = 1. [c.97] Действительно, применяя критерий, указанный в 104, к с = = х° Ti замечая, что х = х(х°, to) представит тождественное преобразование X = х° (являющееся каноническим с множителем (X = 1), увидим, что постоянные 1гатегрирования Xi° являются для системы (li) каноническими. Это означает, что у = y x,t), где у = х°, есть каноническое преобразование с множителем (X = 1. [c.98] Так как остаточная функция R y,t) зависит только от преобразования у = y x,t), но не от преобразуемой канонической системы, то можно определить R, применяя преобразование у = = у х, t) к какой-либо частной системе. [c.98] В силу 27 получим отсюда R = —Н, что и требовалось доказать. [c.98] Этот результат представляет собой знаменитое правпло вариации постоянных интегрирования (канонических) в теории возмущений. [c.99] ТО компоненты yi = щ, = у,- 2п-вект ора у образуют совокупность канонических постоянных интегрирования для (li). [c.101] а скорее в ( ), т. е. в правиле, по которому можно найти различные комбинации постоянных интегрирования (канонических), как только становится известно полное или общее решение уравнения (5) (или системы (li))- К этим каноническим постоянным интегрирования применимо основное правило, указанное в 107. [c.102] Интеграл (9) называют действием по Гамильтону по отношению к данному семейству. [c.102] Подстановка (100 в (Ю2) показывает, что функция (9) удовлетворяет уравнению (5) при любом фиксированном q°. [c.102] Иногда (см., например, 117) целесообразно заменить требование, чтобы К обращалось в (1г) в нуль, менее жестким, а именно, с тем чтобы функция К зависела произвольным образом от обобщенных координат Vi и времени I, но не содержала обобщенные импульсы III, I — 1,. . ., п. [c.103] Пусть уравнения (14i) подвергнуты каноническому преобразованию, представляющему собой каноническое расширение данного преобразования q = д я) в позиционном пространстве. Тогда гамильтонова функция преобразуется как инвариантный вектор, а импульсы — как компоненты ковариантного вектора в позиционном пространстве (см. 48). Так как градиент Wg функции W=W[g) также преобразуется как ковариантный вектор, то описанное выше соответствие между уравнениями (15) и (140 сохраняется при любом координатном преобразовании и его каноническом расширении. [c.104] Можно также сделать вывод, что фиксированная постоянная h в (15) совпадает с постоянной интеграла энергии Я(р, q) = onst системы (14i). [c.105] Вернуться к основной статье