ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Локальные понятия из "Аналитические основы небесной механики " Обозначим через у1 длину (евклидову) /тг-вектора у. Тогда для каждой точки х° области X найдется, очевидно, положительное число а = а(д °), не превосходящее Ь/В, где Ь = Ь х°) — столь малое положительное число, что окрестность х — х° Ь точки х° содержится в X, а /(з ) обладает при х — х° . Ь конечной верхней границей В —В х°, Ь х°)) — В х°). Так же очевидно, что число а ( 0) может быть выбрано независимым от х°, если х принадлежит некоторой замкнутой и ограниченной ) подобласти в X. [c.76] Так как правая часть (1) не содержит явно время то пз теоремы единственности следует, что решение х = х 1), рассматриваемое как функция от х° = х 1°), t°,t, является функцией лишь х° и I — т. е. [c.77] Заметим, что если 1 — 1° фиксировано и [ — ° а, то в соответствии с (4) отображение (3) области а на область а в X принадлежит классу в смысле определения, данного в 5. [c.77] И (3) следует из возможности замены начального положения конечным, тн наоборот. [c.78] Конечно, переход от (3) к (5) является законным лишь тогда, когда х° лежит в некоторой области X, которая обладает ограниченным замыканием, содержащимся в X, а значения ji —i меньше некоторой постоянной, зависящей от X. В частности, нельзя быть уверенным в существовании фиксированного 1 ф i ) такого, что функция (3) определена при этом t и всех х°, принадлежащих X. Этот факт ведет к очевидным осложнениям. Мы не будем их всегда подчеркивать, но о них нельзя забывать. [c.78] Скалярная инвариантная система (Z = 1) называется инвариантным соотношением. Если Z 1, то каждое из I скалярных соотношений, составляющих инвариантную систему G x,t) =0, может не представлять собой инвариантное соотношение. Например, если а = (i) — некоторое частное решение (1), то G(x, t) = О, где G x,t) = х — (i) представляет собой, очевидно, инвариантную систему I = т уравнений. [c.78] Ставит уравнение, определяющее инвариантное множество. По существу, понятия инвариантного множества и консервативной инвариантной системы, по-видимому, едва ли различимы. Однако замкнутое инвариантное множество X G(x) =0 может иметь для (1) довольно сложную структуру даже тогда, если функции f x) и G x) очень гладкие (так что этот вопрос приобретает интерес лишь в случае ограничения аналитичности). [c.79] Очевидно, что любая скалярная функция интегралов уравнения (1) также представляет собой интеграл уравнения, если только она принадлежит классу и не вырождается в постоянную. Следовательно, можно рассматривать I интегралов Ри. . , Рг как независимые, если только функции Р х,1),.. ., Рь(х, 1) являются независимыми в указанном в 18 локальном смысле. [c.80] Из формулы (5), представляющей обращение (3), видно, что скалярные компоненты /п-вектор-функции х (х, — Ь) представляют собой т интегралов уравнения (1), причем эти т интегралов являются в силу (4) независимыми. [c.80] Все упомянутые т независимых интегралов могут не зависеть от i лишь в том случае, если / (г) = 0. Действительно, пусть уравнение (1) имеет т независимых консервативных интегралов Р1 х) = Си. .., Рт(х) = Ст. Тогда любая интегральная кривая должна представлять собой линию пересечения гиперповерхностей Р (х) = а, причем С = / г(а ( °)). Так как /п-функции Р, . .., Рт ЯВЛЯЮТСЯ независимыми, а гиперповерхности лежат в г-мсрном пространстве х, то, полагая с = (с,), получим, что х 1) =с вдоль каждой интегральной кривой х = х 1). Отсюда следует, что в уравнении (1) /(ж) =0. Наоборот, если /(ж) = О, то равенства Х = с, . .., Хт = Ст представляют собой т независимых консервативных интегралов системы (1). [c.80] Хотя т консервативных независимых интегралов уравнения (1) существуют лишь при условии, что f x) = О, однако это уравнение всегда имеет /п — 1 консервативных независимых интегралов Р (ж),. . ., Рт- (х). Для того чтобы В ЭТОМ убедиться, достаточно исключить соответствующим образом t° — t из т независимых интегралов, представляющих компоненты /п-вектор-ного соотношения (5). Разумеется, что полученные таким образом /п — 1 независимых интегралов Р[ (х),. . ., Рт-1 (х) имеют лишь чисто локальное значение не только по отношению к i (см. конец 79), но и по отношению к х. [c.80] Следует отметить, что если решение х = х 1) уравнения (1) не является равновесным, то соответствующая интегральная кривая в пространстве х имеет при каждом i касательную и не имеет точек возврата. Действительно, если это не так, то мы получили бы, что х 1о) = О при некотором t = 1° и, следовательно. х 1) = Опа (0 х 1°). [c.81] О Л/ рассматриваемой области X, введенной в 79. [c.81] Покажем,что сколй велико ни было бы данное число М Ф оо), можно выбрать такое малое б О, что решение х — х(а °, 1) уравнения (1) существует во всем промежутке О Л/, если начальное условие х аР, 0) = удовлетворяет неравенству х°-х° б. [c.81] ЧТО справедливость высказанного выгае утверждения следует из теории покрытия Гейне-Бореля. [c.82] Заметим, что все это справедливо независимо от того, насколько велик конечный фиксированный промежуток [О, М], на котором предполагается существование частного регаения х ж°, 1). [c.82] Так как ( ) и A t) не зависят от е, то отсюда следует, что (12) эквивалентно (8). [c.84] Так как в соответствии с 84. каждое решение x t) можно включить в выбранное надлежащим образом семейство решений x t,e) и так как, в частности, т решений 1 (0 системы (8), рассмотренных в 85, имеют вид (13), то сразу видно, что и любое решение (i) системы (8) может быть представлено с помощью семейства а (i, е) в виде (13). [c.84] Если F x) — интеграл системы (1), то F(x(t,E)) является в силу 82 функцией одного только е. [c.84] Явная связь между S t) и R t) чрезвычайно сложна и ее нельзя вывести с помощью якобиевой матрицы ух = J = J(t) отображения У = У х) вдоль интегральной кривой x = x t). Соответственно связь между коэффициентами матриц (9) и (7) соответствующих якобиевых систем (8), (16) не выражается только через матрицу /. [c.85] Вернуться к основной статье