ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Расширение координатных преобразований из "Аналитические основы небесной механики " Предположим, что и-вектор-функция v q,t) принадлежит классу в ( Ч- 1)-мерной области (q, t). [c.48] Можно расширить различным образом координатное преобразование (1) с целью получить преобразование вида (li) —(I2) 39 2ге-мерных фазовых пространств (2) 39, причем выбор функций и = и р, д, t) практически неограничен. Оказывается, что среди таких расширенных преобразований всегда существуют канонические преобразования. Этот вывод может быть извлечен, в частности, из критерия (17) 45, который также показывает, что каноническое дополнение и — u p,g,t) к данному координатному преобразованию v=v g,t) определяется функцией v g,t) неединственным образом при = onst О на функцию R ограничения не накладываются. [c.49] Подставляя последнюю формулу и (4) в (18г) 45, видим, что СО- обращается в полный дифференциал, а именно в нуль. Следовательно, (5]) представляет каноническое преобразование, соответствующее множителю и остаточной функции (4). Формула (5з) вытекает сразу из (51) —(5г), если учесть (11) —(3) 39. [c.49] В соответствии с (02) это каноническое расширение преобразования (1) может быть получено, если рассматривать импульсы Рь Рп при каждом фиксированном t как компоненты кова-риантпою вектора в пространстве координат q, . .qn. [c.50] Таким образом, каноническое расширение (6) консервативного координатного преобразования является консервативным и полностью каноническим (см. 34) ). [c.50] Эти формулы мы получим из (11) после замены I, т], S, Н на Р, Р, Э. [c.52] Если число степеней свободы п 2, то формулы (81) представляют собой лишь нетривиальную аналогию (14), так как известно, что, за исключением перемещения, вращения, отражения и изменения единицы длины, инверсия V = д/ д является единственным конформным отображением евклидова пространства с числом измерений п 2 (Лиувилль). [c.54] В 54—56 мы приводим с целью дальнейшего использования некоторые классические координатные преобразования и= и д) типа 2 == 2( ), которые будут использованы далее. Их канонические расширения следуют иа (14) или (6). [c.54] Таким образом, условие det / = lzj = 0 в (14) удовлетворяется всюду, за исключением точки = О, которая соответствует значению z = — и которая является, как и точка (соответствующая значению z = оо), точкой разветвления первого порядка (т. е. такой, где соединяются два листа римановой поверхности). [c.55] за исключением этих двух точек разветвления, соответствие между плоскостями х, у) и ( , т]) типа один к двум ). [c.55] В соответствии с этим (23) показывает, что если О, то Н, а если т] О, то представляют такие параболы, что = и Е = Е-ч. Эти параболы имеют общий фокус х, у) — (—ц, 0), а их оси симметрии совпадают с осью х, причем для первой параболы направление оси симметрии (от фокуса к вершине) совпадает с положительным направлением оси х, а для второй параболы — с отрицательным. Таким образом, Н° и Е° суть полупрямые (двойные), на которые делится общим фокусом ось х. Мы получим также, что отображение (23) — (24) удваивает углы в точке ( , т]) = (0,0), а кривые , Е пересекаются в любой точке (L т]) 0 под прямым углом. Последний факт очевиден, поскольку преобразование является конформным. [c.55] Координаты g, т], определяемые согласно (24), представляют собой обычные параболические координаты. [c.55] Таким образом, рассмотренное отображение определяет на плоскости х, у) так называемые эллиптические координаты, причем координатная сетка составлена из софокусных Эw лип oв и гипербол. Параболические координаты (см. 54) можно рассматривать как предельный слз чай ). [c.60] Вернуться к основной статье