ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Канонические преобразования и пфаффианы из "Аналитические основы небесной механики " Таким образом, бинарное преобразование (I2) является каноническим тогда и только тогда, ко да определитель якобиевой матрицы постоянен ( 0). [c.42] Вместе с тем переход от прямоугольных декартовых координат (и, V) на фазовой плоскости к полярным координатам р, q и = р os q, V = р sin q) нв является каноническим преобразованием, так как якобиан (8) равен тогда р ф onst. [c.42] Если га = 1, то каждое из преобразований и = д, и = является на основании 41 полностью каноническим. В силу изложенного в 33 такой вывод справедлив и для любого га. [c.43] Если есть любая перестановка из Рь. .., рп, а У1. [c.43] Ниже будет показано, что отображение, неявно определяемое (12), является каноническим тогда и только тогда, когда существует постоянная ц =/= О и скалярная функция В такая, что пфаффиан с 2га -Ь 1 переменными, к которому сводится пфаффиан (11) с 4га -Ь 1 переменными, есть полный дифференциал ). [c.43] Таким образом, сказанное следует из того факта, что ротор есть тензор ). [c.44] В силу упомянутой только что инвариантности достаточно рассматривать (11) в предположении, что соотношение (12) дает нам функцию у = у х, I) ъ явном виде. [c.44] При вычислениях будем использовать всегда тот факт, что а-СЪ = Ъ - С а в соответствии с 1 и что I = — I = I . [c.44] Этим самым доказано утверждение о свойстве пфаффиана, высказанное в 43. [c.46] Следовательно, в силу критерия, указанного в 43, преобразование (li) — (I2), неявно определяемое соотношением (16), является каноническим тогда и только тогда, когда существует функция R = R(t, р, q, и, и) и постоянная [х(=/= 0) такие, что пфаффиан (17) представляет собой с учетом (16) полный дифференциал. [c.46] Например, преобразование р = и, q — —и является каноническим с множителем ц = 1, однако функция S(t, q, и), удовлетворяющая соотношениям (20), не существует. [c.48] Вместе с тем из изложенного в 42 ясно, что можно начинать с выбора функции S, содержащей вместо Ui и любые 2п из 4п переменных Ри Qi, Щ, Vi, т. е. произвольную пару из р, q, и, и. [c.48] В соответствшг с (21) и с изложенным в 34 эти преобразования являются полностью каноническими тогда и толы о тогда, когда S не содержит t. [c.48] Вернуться к основной статье