ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Распределение скоростей в бесконечно малой частице сплошной среды из "Механика сплошной среды Т.1 " Возьмем бесконечно малую частицу сплошной среды и изучим вопрос о распределении скоростей в этой частице. Под бесконечно малой частицей будем понимать совокупность точек среды с координатами + р1, удаленных от данной точки О с координатами I , называемой центром частицы, на бесконечно малые расстояния р. Поле скоростей V предполагаем непрерывным и имеющим производные по крайней мере первого порядка. [c.98] Отсюда видно, что с точностью до рО(р) бесконечно малая частица сплошной среды за бесконечно малое время At претерпевает бесконечно малое аффинное преобразование (значения производных от V по I берутся в центре частицы О). [c.98] если известны компоненты тензора скоростей деформаций e j и направление р, то можно вычислить скорость относительного удлинения Ср в этом направлении. [c.102] Можно указать главные оси тензора скоростей деформаций в любой данный момент времени ив любой точке О среды. Величины бц б2, бз называются главными компонентами тензора скоростей деформаций. Для нахождения главных осей тензора скоростей деформаций следует привести к каноническому виду квадратичную форму Ф х , х ) (7.7). Очевидно, 0 соответствует растяжению, а О — сжатию вдоль -й оси. [c.103] Как и со всяким симметричным тензором, с тензором скоростей деформаций можно связать тензорную поверхность. Она будет эллипсоидом, если все одного знака, и гиперболоидом, если e имеют разные знаки. Главные оси тензора деформаций и скоростей деформаций, вообще говоря, разные. [c.103] Из проведенных рассуждений вытекает, что полю скоростей V всегда можно поставить в соответствие тензор и вектор ю. [c.104] любое бесконечно малое преобразование бесконечно малой частицы сплошной среды можно разложить на четыре преобразования, одно из которых, (7.23), определяется вектором 0, а три, (7.25), представляют собой чистые удлинения по трем взаимно перпендикулярным главным осям. При этом, в противоположность случаю конечных деформаций бесконечно малой частицы среды, порядок выполнения указанных преобразований несущественен. [c.106] Заметим, что все рассуждения были проведены применительно к вектору р, выходящему из центра частицы О. Но, на основании свойств аффинных преобразований, изменение длин всех параллельных отрезков одинаково, и поэтому произвольный малый вектор (не выходящий из точки О) испытывает те же самые преобразования. Все векторы, параллельные оси х, удлиняются на е М, параллельные у — на и параллельные 2 — на esdt, произвольный вектор р удлиняется на на каждую единицу длины. [c.106] Если мы составим скалярное произведение р йр, то в силу (7.23) оно окажется равньш нулю, т. е. изменение вектора р ортогонально самому вектору р. Следовательно, всеер ,= 0. Таким образом, при преобразовании (7.23) бесконечно малая частица среды ведет себя как абсолютно твердое тело, и мы можем истолковать (aXp )dt как перемещение при вращении с мгновенной угловой скоростью ю бесконечно малой частицы сплошной среды, мгновенно затвердевшей до или после происшедшей деформации. Итак, вектор ю следует толковать как мгновенную угловую скорость вращения тела, связанного с бесконечно малой частицей среды, которое за время dt остается твердым, т. е. триэдра главных осей тензора скоростей деформаций. Таким образом, вектор ю, называемый вектором вихря скорости, является мгновенной угловой скоростью вращения главных осей тензора скоростей деформаций. [c.106] В случае конечной деформации бесконечно малой частицы ереды движение также сводится к повороту и чистой деформации. Найти вектор поворота, зная компоненты матрицы аффинного преобразования Ц Ц, можно, но эта задача сложна. В случае движения бесконечно малой частицы сплошной среды за время dtf когда описывающее его преобразование является бесконечно малым аффинным преобразованием, вектор поворота равен са dt. [c.106] Вернуться к основной статье