ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Элементы тензорного исчисления из "Механика сплошной среды Т.1 " Если Q = onst, то источник или сток имеет постоянную мощность если Q = Q t) — то переменную. Если в некоторый момент времени Q меняется в начале координат, то мгновенно изменяется поле скоростей во всем пространстве. Сигналы изменения Q сразу сказываются на всем поле скоростей, что, конечно, не может иметь места в действительности. Возмущения должны распространяться с некоторой конечной скоростью. Поэтому рассмотренное поле скоростей является определенной идеализацией, которая может достаточно хорошо отражать действительность только в том случае, когда рассматриваются течения жидкости с большой скоростью распространения возмущений. Во многих случаях можно считать, что такой жидкостью является, например, вода, в которой скорость распространения слабых возмущений 1450 м]сек. [c.47] Многие характеристики движения сплошной среды имеют тензорную природу, поэтому рассмотрим основы тензорного исчисления. Заметим, что скаляр и вектор тоже являются тензорами, но наиболее простыми. Одних векторных и скалярных величин для описания движения сплошной среды недостаточно. [c.47] Система координат вводится в рассмотрение исследователем, и ее выбор зависит от исследователя, а не от изучаемого явления. Законы движения могут содержать координаты, но не должны зависеть от выбора системы координат. Они должны быть инвариантными относительно выбора системы координат, что накладывает известные ограничения на вид математической записи этих законов. [c.47] Приведенные выше рассуждения были проведены для трехмерного пространства, но они верны и для любого ге-мерного пространства, в том числе одномерного, двумерного и четырехмерного, встречающихся в механике сплошной среды. [c.49] Заметим, что приводимые рассуждения не требуют введения метрики пространства. Пространство может быть неметрическим пространством или пространством с весьма сложной метрикой. [c.49] Следовательно, выражение йг через компоненты и векторы базиса соответствующей системы координат не меняется при переходе от одной системы координат к другой оно инвариантно относительно преобразований систем координат. [c.51] Инвариантность вектора А обеспечивается взаимообратно-стью преобразований компонент вектора А и векторов базиса а,. Векторы базиса являются носителями каждого вектора, коэффициенты при них в (4.7) являются в общем случае числовыми функциями точки М. [c.52] Вектор А может иметь любую геометрическую или физическую природу, но через векторы базиса он всегда определяется разложением (4.7), где числа (функции) Л зависят от системы координат. Векторы базиса Э управляют числами А и создают новый объект — вектор А. [c.52] С помощью полиадных произведений можно вводить объекты, называемые тензорами. [c.53] Потребуем, чтобы Т а было инвариантно относительно преобразований систем координат, т. е. [c.53] Например, при рассмотрении ортогональных преобразований, кроме векторов и тензоров, вводят спиноры и спин-тензоры, базисные объекты и к01Ш0ненты которых преобразуются с помощью некоторых матриц 4 и Вр являющихся другим (не совпадающим с alj и матричным представлением группы ортогональных преобразований пространства. [c.54] Если при перестановке какой-нибудь пары индексов компоненты тензора Т меняют знак, Т == — ТзШт о тепзор Т называется антисимметричным по этим индексам. Свойство антисимметрии тензора также инвариантно относительно преобразований координат. [c.55] Очевидно, что если мы имеем тензор А, то объект С =к-А, где к — любое число, не зависящее от системы координат (скаляр), также будет тензором. [c.55] Операции получения тензоров и носят название операций симметрирования и альтернирования соответственно. Если тензор Т симметричный, то Тд = Т, Т , = О, если Т антисимметричный, то =0, а = Т. [c.55] Заметим, что по определению тензор равен нулю, если все его компоненты равны нулю. [c.55] с помощью произвольного тензора второго ранга х можно ввести контравариантные векторы базиса аЧ Заметим, что если ковариантные векторы базиса а зависели только от системы координат, то контравариантные векторы базиса э зависят и от системы координат, и от тензора х, с помощью которого они образованы. [c.56] Таким образом, мы видим, что можно назвать ковариантными компонентами рассмотренного выше тензора второго ранга X в контравариантном базисе э. Ради простоты в дальнейшем будем считать х симметричным тензором, т. е. х = х а следовательно, и = у,ц. [c.57] А называются ковариантными компонентами вектора А в контравариантном базисе а4 Следовательно, для каждого вектора А можно ввести компоненты А, преобразующиеся с помощью матрицы В, называемые контравариантными компонентами, и компоненты А преобразующиеся с помощью матрицы А, называемые ковариантными компонентами. В общем случае ковариантные и контравариантные компоненты вектора отличаются друг от друга, A = =Aj. [c.57] Вернуться к основной статье