ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Скалярные и векторные поля и их характеристики из "Механика сплошной среды Т.1 " В каждой из этих систем координат можно выделить некоторую конечную или бесконечную область и каждой точке этой области поставить в соответствие число, например температуру Т, или вектор, например скорость v, или, как увидим позднее, еще другие, более сложные характеристики. [c.34] Заметим, что при заданной функции Т (а ж , ж , 1) для вычисления дТ д1) г полностью знать закон движения сплошной среды не нужно, нужно знать только поле скоростей г. [c.35] Ниже разберем определение конвективной производной подробнее, а сейчас опять на примере поля температур познакомимся с понятиями, которые можно ввести для каждого скалярного поля. [c.36] В общем случае конвективная производная отлична от нуля, так как значения температуры в точках Л иВ разные. Она может быть равной нулю при отсутствии движения, либо при отсутствии градиента температуры, т. 0. тогда, когда температура в данный момент времени не меняется от точки к точке пространства (такое поле называется однородным), либо при движении вдоль поверхности уровня. [c.38] Как найти компоненты ускорения Ускорение определяется для частицы сплошной среды, поэтому компоненты ускорения будут определяться как индивидуальные производные по времени от соответствующих компонент скорости, т. е. [c.39] Обратим внимание на то, что эти формулы верны только в декартовой системе координат. [c.39] В частности, поле температур установившееся, если Т = = Т х , х , а ) если же Г = Г (ж , х , х , 1), то оно неустановившее-ся. Распределения температуры Т, скоростной других величин в пространстве х , х , ж , взятые в разные моменты времени, совпадают друг с другом в случае установившихся движений и отличаются друг от друга в случае неустановившихся движений. Понятие установившихся движений очень важно для приложений. Во-первых, многие из встречающихся в приложениях течений являются установившимися, а, во-вторых, изучать такие движения с точки зрения Эйлера проще в силу того, что число независимых переменных при этом з меньшается на единицу (время выпадает). [c.39] Отметим, что оба указанных наблюдателя рассматривают в своих системах координат движение, которое определено относительно одной и той же системы координат либо абсолютное движение относительно берегов, либо относительное по отношению к кораблю. [c.40] В уравнениях (3.3) как в правую, так и в левую части входит время 4, а в уравнениях (3.2) производные берутся по а правые части зависят от 1. При интегрировании (3.2) I следует рассматривать как постоянный параметр, а в уравнениях (3,3) I необходимо считать переменным. [c.41] Таким образом, линии тока, вообще говоря, не совпадают с траекториями. Семейство линий тока ж = х с , с, с , Я, 1) зависит от времени и в разные моменты времени разное. [c.41] Однако параметр I входит в правые части (3.2) и (3.3) только в случае неустановившихся движений. В случае установившихся движений разница между уравнениями (3.2) и (3.3) пропадает, она сводится только к разному обозначению параметра по которому проводится дифференцирование, что не играет никакой роли. Поэтому линии тока и траектории при установившихся движениях совпадают. [c.42] В случае произвольного движения твердого тела линии тока — винтовые линии, а траектории могут быть произвольными. [c.42] Существуют ли такие неустановившиеся движения, для которых линии тока все же совпадают с траекториями Возьмем, например, прямолинейное движение твердого тела с переменной скоростью. В этом случае как линии тока, так и траектории будут прямыми, а само движение будет, конечно, неустановившимся. Аналогично линии тока и траектории будут совпадать в случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси с переменной угловой скоростью. В общем случае линии тока и траектории будут совпадать друг с другом при таких неустановившихся движениях, в которых скорости меняются в данной точке пространства с течением времени только по величине, но не по направлению. [c.42] Следовательно, линии тока и траектории совпадают для полей V (х, зс ) и VI = / (х , ж, X , ) V где / (ж , а , ж , г) — скалярная функция своих аргументов. [c.42] И поставить для них задачу Коши, т. е. задачу отыскания таких решений (а , t), х , t), которые при заданном ж = Хо обращаются в заданные величины х1 (t) и х (t) (t — постоянный параметр). Как известно из общей теории дифференциальных уравнений, задача Коши всегда имеет единственное решение, во всяком случае тогда, когда в (3.4) правые части и их производные по ж непрерывны. Таким образом, вообще говоря, через каждую точку можно провести единственную линию тока. [c.43] Мы получили дифференциальное уравнение в частных производных для определения функции / (ж, у, z). [c.44] Описанный выше способ построения поверхностей тока указывает способ интегрирования уравнений с частными производными, имеющих вид( 3.5). Это интегрирование сводится к нахождению семейства линий тока, проходящих через контур С, т. е. к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений (решения этих обыкновенных уравнений называются в общем случае характеристиками). Видно, что построить таким образом единственное решение можно лишь в случае, когда сам контур С не является линией тока (т. е. характеристикой). [c.44] Заметим, что изучать потенциальные течения проще, чем непотенциальные, так как потенциальные движения определяются одной функцией ф х, у, z, t), а движения общего вида — тремя (х, у, z, t), х, у, z, t), x, у, z, t). Источник и сток в прост- Рассмотрим еше один важный для дальней-ранстве шего пример потенциального течения. [c.45] Вернуться к основной статье