ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Построение матриц элементов из "Применение метода конечных элементов " Преобразование системы уравнений (6.20) обсуждается в следующей главе, где рассматривается реализация метода конечных элементов с помощью вычислительной машины. Поверхность ф, соответствующая полученному множеству узловых значений, представлена на фиг. 6.4. [c.97] Эти значения схематически показаны на фиг. 6.5. [c.98] Все значения выражены в. ньютонах на квадратный сантиметр. [c.99] Уточнить значения напряжений внутри стержня, полученные в данном примере, можно тремя способами. Во-первых, можно увеличить число элементов, используемых при разбиении области поперечного сечения. Так как при этом размеры элементов уменьшаются, вычисленные знячрния напряжений оказываются более близкими к действительным. Во-вторых, можно использовать треугольный элемент с большим числом узлов, а в интерполяционные полиномы включить квадратные и кубичные члены. Тогда в результате дифференцирования будут получаться градиенты, являющиеся функциями координат. Третий подход заключается в применении теории сопряженной аппроксимации. Эта теория позволяет определять напряжения в узловых точках, а также напряжения внутри элемента как функции координат х, у. Применение этой теории пбсуждяется в следующем разделе. [c.99] Это означает, что крутящий момент величиной 178 Н-см вызывает закручивание на 1° стального стержня длиной 100 см и с поперечным сечением в форме квад Уата со стороной в 1 см. Однако точность этого результата весьма сомнительна вследствие выбора грубой сетки разбиения. В самом деле, теоретическое значение момента равно 196,3 Н-см. Наш результат на 9,5% меньше этой величины. [c.101] Недостатком применения линейных интерполяционных полиномов является невозможность получить градиенты как функции х и у. Градиент и любая связанная с ним величина получаются постоянными внутри элемента. Чтобы иметь более приемлемые значения узловых величин применяются различные методы усреднения. Можно, например, в качестве значения градиента в данном узле принять среднюю по всем окружающим этот узел элементам величину. Узловые значения результантов элемента можно также получить с помощью теории сопряженной аппроксимации [2]. Эта теория дает значения результантов элемента, согласованные с аппроксимирующими полиномами для векторной или скалярной величины. [c.101] Изложение теории сопряженной аппроксимации выходит за рамки дяннпй книги. Применение этой теории, однако, не представляет труда и будет проиллюстрировано на четырехэлементной модели рассмотренной выше задачи о кручении. [c.101] В предыдущих расчетах использовалось сдвиговое напряжение Хгу только потому, ЧТО ОНО имеет наибольшее значение внутри каждого элемента. Сдвиговое напряжение Ххх может быть рассмотрено точно так же. Вектор столбец / должен быть вновь вычислен с использованием числовых значений Хгх- Заметим, что вектор-столбец / составляется только для величины, изменяющейся от элемента к элементу. Итак, числовые матрицы элементов с первого по четвертый даются формулами (6.29) — (6.33). [c.103] Так как все элементы имеют одинаковую площадь, то в последних формулах она опущена. [c.103] Для результантов элемента можно, кроме того, получить соотношения, которые выражают изменение этих величин по площади элемента. Мы не будем останавливаться подробно на этом, поскольку такие соотношения широко не применяются. [c.104] Применение теории сопряженной аппроксимации сводится к решению системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с порядком системы, используемой для получения уз ловых значений. Это представляет определенное неудобство при решении задач, которые требуют включения большого числа элементов. [c.104] Способ, не требующий решения полной системы уравнений, обсуждается в гл. 7, где рассматриваегся кручение квадратного стержня с большим числом элементов. [c.104] Последние этапы метода конечных элементов проиллюстрированы в этой главе на конкретной задаче. Было показано, как получаются матрицы элементов, а также как определяются результанты элемента, если известны узловые значения. [c.104] Следующая глава посвящена вопросам машинной реализации метода конечных элементов. В гл. 8—12 будут рассмотрены различные применения метода. [c.104] В эффективных программах процедура построения глобальной матрицы жесткости использует сокращенную форму матриц элементов [УУН] при получении уравнений для элемента. Такой метод известен как метод прямой жесткости . Применение этого метода исключает необходимость хранения больших матриц элементов, содержащих всего несколько отличных от нуля коэффициентов. Процедура кодирования, которая описывается ниже, представлена в работе [4]. [c.106] Таким образом, в результате мы имеем матрицу размером 3X3 вместо матрицы размером 6X6, данной в (6.19в). Матрица элемента имеет размер 3X3, потому что этому элементу соответствуют три глобальные степени свободы. [c.107] Уравнения (7.6), очевидно, не идентичны уравнениям (6.19в). Чтобы полученная матрица соответствовала точной матрице жесткости третьего элемента, ее нужно переформировать и расширить. Алгоритм переформирования и расширения матрицы несложен. [c.107] Строкам и столбцам сокращенной матрицы элемента приписываются номера глобальных степеней свободы. Порядок расположения степеней свободы соответствует обходу элемента против часовой стрелки, начиная от I го узла. [c.107] Метод прямой жесткости построения глобальной матрицы жесткости является очень важным алгоритмом реализации метода конечных элементов на ЭВМ, потому что он значительно сокращает загрузку запоминающего устройства. В частности, он исключает необходимость запоминания больших матриц элементов, которые содержат всего несколько ненулевых коэффициентов. Число строк и число столбцов сокращенной матрицы жесткости элемента равны числу степеней свободы элемента. [c.108] Вернуться к основной статье