ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Использование функциональных степенных рядов из "Статистическая гидромеханика Ч.2 Механика турбулентности " При попытках решения задачи о полном статистическом описании турбулентности при помощи определения характеристического функционала поля скорости из уравнения Хопфа мы сталкиваемся с той трудностью, что сколько-нибудь общего математического аппарата для решения линейных уравнений в вариационных производных еще не создано (и даже отсутствуют точные теоремы об условиях существования и единственности решений таких уравнений). Методы решения некоторых специальных типов линейных уравнений в вариационных производных, развитые, в частности. Татарским (1961) и Новиковым (1961г), для решения уравнения Хопфа оказываются недостаточными. Об единственном общем подходе к теории интегрирования уравнений в вариационных производных, связанном с использованием так называемых континуальных интегралов, мы еще будем говорить позже (в п. 29.5) пока, однако, мы рассмотрим некоторые более простые приближенные методы, аналогичные методам решения дифференциальных уравнений с помощью рядов по степеням независимых переменных или входящих б уравнения параметров. [c.641] Таким образом, определение функционала Ф эквивалентно определению всех пространственных моментных функций п-го порядка поля скорости. При этом, однако, никакой конечный отрезок функционального степенного ряда (29.1) не обладает свойствами, которыми должен обладать характеристический функционал (см. часть 1. стр. 200) поэтому даже для приближенного определения характеристического функционала Ф, строго говоря, необходимо задать (хотя бы приближенно) все члены ряда (29.1). [c.642] Гипотеза Миллионщикова о четвертых моментах здесь записывается в виде Ф4 — О. [c.644] Такое же равенство должно выполняться и для всех степенных функционалов в разложении (29.10). Из формулы (29.11) следует, что условие (29.14) для эквивалентно требованию, чтобы функции а. а (dkl. ... dk . t) были отличными от нуля лишь при Й +. .. [c.645] С равной нулю левой частью. Можно ожидать, что решение F этого уравнения будет единственным, причем оно будет зависеть от коэффициента вязкости V. Предположим, что это решение имеет предел при v- 0. При таком предельном переходе верхняя граница инерционного интервала волновых чисел будет неограниченно возрастать поэтому предельный функционал 4 0. по-видимому, должен удовлетворять модельному уравнению (29.27). [c.649] Из доказанной теоремы следует, в частности, что гауссовский функционал Ч = ехрЧ 2 является решением уравнения (29.27), лишь если он соответствует случайному полю скорости с равномерным распределением энергии по пространству волновых чисел (т. е. с F (k) = onst). Статистические свойства такого поля скорости в определенном смысле аналогичны статистическим свойствам газа, описываемого классическим каноническим распределением Максвелла — Больцмана. Однако такое поле скорости, очевидно, не обладает колмогоровской автомодельностью (при которой Е (k) т. е. F (k)k l ). Следовательно, характеристический функционал турбулентного поля скорости со спектром f (Л) удовлетворяющий уравнению (29.27), не может быть гауссовским (и вообще не может иметь вида (29.28)). [c.650] С — положительная постоянная. Иначе говоря, чтобы обеспечить постоянство спектральной плотности кинетической энергии, спектральная плотность внешних сил должна возрастать с ростом k пропорционально k . [c.650] Вернуться к основной статье