ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Замыкание уравнений для вторых и третьих моментов с помощью гипотезы Миллионщикова из "Статистическая гидромеханика Ч.2 Механика турбулентности " Рассмотрим турбулентность, поле скорости которой в начальный момент времени является гауссовским (нормальным) случайным полем. Можно показать, что формальное разложение семиинвариантов порядка п- - в ряд по степеням Не начинается с члена порядка (Не) (ср. Крейчнан (1962). Поэтому при пренебрежении ими в уравнении (19.21) с т = п для моментов порядка п получается ряд вида (19.22), члены которого вплоть до порядка (Не) 2 будут точными для ( — 1)-х моментов получается ряд, правильный вплоть до члена порядка (Не) . и т. д. для вторых моментов получается разложение, точное вплоть до члена порядка (Re) . Таким образом, во всех случаях, когда отбрасывание членов порядка Не и выше приводит к хорошему приближению (т. е. при Не 1 или при очень малом небрежение семиинвариантами (ге- -1)-го порядка также должно быть допустимым. В случае же больших значений Не и — tQ пренебрежение семиинвариантами представляется все же более оправданным, чем пренебрежение высшими моментами, хотя, вообще говоря, получаемые при этом результаты иногда также могут оказаться противоречащими общим требованиям теории вероятностей (по причинам, разъясненным на стр. 200—201 части 1 книги). [c.249] Перейдем к рассмотрению конкретных следствий из гипотезы об обращении в нуль семиинвариантов порядка п- -. При = 2 отбрасывание семиинвариантов порядка п + 1 эквивалентно отбрасыванию третьих моментов в уравнениях Кармана — Ховарта и Корсина, рассматривавшемуся в 15 поэтому первое нетривиальное применение указанной гипотезы получается при п==3. В этом случае используются уравнения для вторых и третьих моментов, причем в последних трехточечные четвертые моменты заменяются специальными комбинациями вторых моментов (см. ниже (19.25)). В следующем приближении надо уже уравнения для вторых и третьих моментов использовать без всяких упрощений и дополнить их уравнениями для четвертых моментов, в которых пятые моменты заменяются специальными комбинациями моментов второго и третьего порядков но это приближение столь громоздко, что до сих пор оно остается почти не исследованным (см., впрочем, работу Хазен (1963) об эволюции возмущений в потоке с постоянным градиентом скорости). [c.249] Это уравнение вместе с обычным спектральным уравнением (14.14) и соотношениями (19.10) и (19.13), позволяющими выразить Г (Л) через Fiji ( образует замкнутую систему уравнений относительно вторых и третьих моментов. [c.250] Эти два уравнения (впервые полученные Праудменом и Ридом (1954)) относительно несложны но чтобы получить замкнутую систему, их надо дополнить еще уравнением (14.14) и соотношением, выражающим функцию Г(Л) через Ф(Л, к, к ) и W (к, к, к ). Последнее соотношение (также выписанное в работе Праудмена и Рида) очень громоздко поэтому вместо Ф и Ч удобнее выбрать другие неизвестные функции. [c.251] Замкнутая система, состоящая из этого уравнения, уравнения (14.14) и равенства (19.13), заметно удобнее системы с неизвестными Ф, Ч и / . [c.251] Другое интересное следствие из уравнения (19.41) касается асимптотического поведения функции Р(к, ) при к- 0, на которое вязкость, естественно, не оказывает влияния. При очень малых к основную роль в правой части (19.41) играет член подынтегрального выражения. [c.256] Вернуться к основной статье