ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Оценка скорости диффузии Арнольда. Результаты Нехорошева из "Точки либрации в небесной механике и космодинамике " В этом параграфе рассмотрим некоторые результаты, полученные при исследовании формальной устойчивости гамильтоновых систем. Определение формальной устойчивости было приведено в 4 четвертой главы. Понятие формальной устойчивости является очень важным при исследовании устойчивости на конечном (но очень большом) интервале времени. Наличие формальной устойчивости означает, что неустойчивость по Ляпунову (если она существует) не обнаруживается при учете в разложении функции Гамильтона членов до сколь угодно большого (по конечного) порядка относительно координат и импульсов возмущенного движения. [c.90] Брюно [13] доказана следующая теорема, которая содержит все указанные выше результаты. [c.92] Имеет место следующее утверждение 1157]. [c.93] Эта лемма является обобщением на резонансный случай результата, получаемого при помощи преобразования Биркгофа, приведенного в главе 3 в случае отсутствия резонансных соотношений между величинами %]. На доказательстве леммы мы не останавливаемся, так как оно почти дословно повторяет соответствующие рассмотрения главы 3. [c.93] Так как вектор 1 — к является решением уравнения (2.7), то все коэффициенты в правой части (2.13) равны нулю. [c.93] 12) следует, что все коэффициенты в последнем разложении равны нулю. [c.94] — формальный определенно-положительный интеграл, и, следовательно, теорема Брюно доказана. [c.94] В 1 построены простые примеры многомерных гамильтоновых систем, которые устойчивы для большинства начальных условий, но по Ляпунову неустойчивы. Скорость диффузии Арнольда в примерах 1 оказалась весьма значительной. Однако, как правило, диффузия Арнольда (если она существует) должна быть экспоненциальной, что показано Нехорошевым в его работах 178-80]. [c.94] Примерами крутых функций являются функции следующего вида. [c.95] Для функций Яо от двух переменных достаточным условием крутизны является отличие от нуля определителя в формуле (1.4) на стр. 88. [c.95] Требование крутизны функции Яо существенно. В примерах, рассмотренных в 1, функции Яо = Я — (см. (1.7) и (1.9)) не являются крутыми. [c.96] Функция Яо общего положения удовлетворяет одному из приведенных достаточных условий крутизны. Отметим, что выполнение условия 1) означает несовместность (при Хг + х1 - - Хд Ф ф 0) системы (3.7) и (3.8) и, значит, при условии 1) функция Я квазивыпукла. [c.96] Вернуться к основной статье