ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Об устойчивости в случае равных частот из "Точки либрации в небесной механике и космодинамике " Теперь рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия qi = Pi = О системы (1.1) в случае равных частот колебаний линеаризованной системы. Эта задача изучена в работах Сокольского [86, 87]. Проводимые ниже рассмотрения основаны на результатах этих работ. [c.77] Интеграл М существует при условиях теоремы. Положительности Ф (ф) можно добиться изменением знака ф2 в гамильтониане (4.4). [c.81] Задача об устойчивости в случае, когда матрица линеаризованной системы (1.1) не приводится к диагональной форме, значительно сложнее. Трудность исследования состоит в том, что даже в линейном приближении переменные, соответствующие разным степеням свободы, не разделяются. Поэтому не удается свести исследуемую систему с двумя степенями свободы к системе с одной степенью свободы, как это было в том случае, когда матрица линейной части системы (1.1) приводилась к диагональной форме. Кроме того, весьма существенно, что, в отличие от предыдущего случая и от всех исследованных в этой главе случаев устойчивости, линеаризованная система (1.1) неустойчива из-за наличия в общем решении слагаемых вида t sin oi. Учет же нелинейных членов в уравнениях движения может привести как к устойчивости, так и к неустойчивости полной системы [50]. [c.81] Теорема. Если в нормальной форме (4.9) О, то положение равновесия qi = Рг = О (i = 1, 2) системы (1.1) формально устойчиво, если же Л О, пю имеет место неустойчивость по Ляпунову. [c.84] Исследуем теперь устойчивость положения равновесия системы (1.1), когда не вылолняется условие (1.4) теоремы Арнольда — Мозера. Сначала рассмотрим пример (см. [57]), показываюш ий, что при невыполнении этого условия устойчивость положения рав новесия может быть разрушена членами сколь угодно высокого порядка в разложении функции Гамильтона (1.2). [c.85] Вернуться к основной статье