ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нули функций Ламэ из "Устойчивость вращающихся масс жидкости " Теперь перейдём к доказательству следующей теоремы. [c.116] Теорема. Все корни уравнения Ьг = О для неизвестной Л + лежат между О и аР —. [c.116] Поскольку гг 1 (чтобы возникало второе дифференцирование ), то 2п — 1 3, и это уравнение но имеет гг — 2 корней нри = — 1 и один корень, расположенный между —1 и 0. [c.117] Продолжая далее, мы видим, что каждое дифференцирование даёт дополнительный корень между —1 и О, и все эти промежуточные корпи являются отделёнными и чередуются с корнями предыдущего уравнения цепочки, т. к. они возникают одновременно от следующих один за другим критических значений. [c.117] Перед тем как продемонстрировать, что те же условия подходят и для корней общего уравнения Lr = О, требуется установить два следующих простых следствия из уравнения Ламэ для всех а, 6 и с. [c.118] Следовательно, если предположим, что = (Л + а ) / /(Л), или Ь = [X + а У/[Х), где 1, и продифференцируем уравнение Ламэ должное количество раз, чтобы заменить в нём производные от функции Ь, а затем, полагая Л + а = О, придём к указанному противоречию. [c.119] Если мы предполагаем существование тройного корня или корня ещё более высокого порядка, то посредством дифференцирования уравнения Ламэ достаточное количество раз мы снова приходим к противоречию. [c.119] Теперь вернёмся к уравнению Ьг Х + а ) = О для общего случая а 7 6 и докажем, что все корни являются вещественными и различными и лежат между О и — с . [c.119] Предположим, что это уравнение имеет один и.пи более корней, больших чем а — ср. Тогда, если допустить, что Ь непрерывно изменяется и стремится к равенству с а, то на некотором этане этот корень должен нройти через значение Х + а = а —с, т. к. бьшо уже показано, что при а = Ь все корни меньше — с . Но согласно (I), такой корень существовать не может, соответственно, и корень, больший чем — с , не может исчезнуть подобным образом. Аналогично, не может быть корня меньше 0. [c.119] Имеется альтернативная возможность, что если бы уравнение Ьг = = О имело два корня, больших, чем аР —с то они могли бы исчезнз ть и стать невещественными на некотором этапе при приближении Ьк а. Но, по условию непрерывности, два таких корня должны были бы совпасть, перед тем как стать комплексными или мнимыми, а но следствию из (II) это невозможно. [c.119] Расположение пулей некоторых функций Ламэ данного типа можно определить ещё более точно, чем уже было сделано ранее. Это необходимо в связи с вопросом об устойчивости эллипсоидов Якоби. С этой целью мы докажем, следуя Стилтьесу, важную теорему. Однако вначале рассмотрим метод прямого построения эллипсоидальных гармонических функций в прямоугольных координатах. [c.120] Вернуться к основной статье