ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод конечных элементов из "Метод конечных элементов в механике жидкости " В методе конечных элементов матрица для всей области формируется из матриц отдельных элементов, которые выражаются как функции узловых неизвестных. Последующий учет главных граничных условий приводит к определенным изменениям общей матрицы. Аналогичным образом величины, заданные в узлах элемента, образуют вектор обобщенной узловой нагрузки. Разрешая далее полученную систему уравнений, определяем значения искомой функции в узлах. [c.57] Под главными переменными следует понимать искомую функцию и ее производные до т — 1-го порядка включительно. Здесь 2т — порядок рассматриваемой краевой задачи. — Прим. ред. [c.58] Для выполнения условия полноты аппроксимирующие функции должны удовлетворять условию постоянства производных, которое состоит в том, что с уменьшением размеров элемента производные, входящие в выражение для вариационного функционала, стремятся к постоянным величинам (или, в частности, к нулю). Если указанные условия допустимости и полноты выполняются, решение по методу конечных элементов будет сходиться к точному при увеличении общего числа конечных элементов. [c.59] Первый этап метода включает разбиение области на элементы конечных размеров и выбор ряда граничных точек на их поверхности. Эти элементы называют конечными, а точки — узловыми точками или узлами. [c.59] Перенумеруем элементы и узлы и определим связь узловых точек элементов, записав для каждого элемента номера принадлежащих ему узлов. Типичная дискретизация для плоской задачи показана на рис. 2.5. Узлы выбираем в углах элементов на срединной поверхности пластины. Можно было бы выбрать дополнительные узлы вдоль границ элемента. [c.59] Отметим, что нумерацию узлов необходимо проводить в одном и том же направлении (по часовой стрелке или против нее). С какого узла начинать нумерацию, не имеет значения. [c.59] Введем узловые неизвестные, которые для выполнения условия допустимости должны быть по меньшей мере главными переменными задачи. Например, для плоской задачи теории упругости имеем два перемещения, для задач изгиба пластин — нормальное перемещение и два вращения для теплопередачи — температуру для потока несжимаемой жидкости — скорости и давление и т. д. [c.59] Будем пользоваться двумя системами нумерации при рассмотрении поведения изолированного элемента его узловые неизвестные нумеруются в локальной (местной) системе нумерации, а узловые неизвестные для совокупности элементов — в глобальной (общей) системе нумерации. [c.59] 3 относятся к глобальной системе (например, = 94, = 96, Пз = 92). [c.60] Элемент вектора 11 или в выражении (2.15) является узловым неизвестным. Для рассмотренного выше вектора, включающего все узловые переменные в данном узле, и вектора одной узловой переменной введем соответственно обозначения (ио и (иО. [c.60] Для образования исходной области нужно объединить элементы. Эта операция разъяснена в 2.3. [c.61] Решающим в процессе построения матрицы К во многих случаях является удовлетворение условия совместности элементов без обращения к аппроксимирующим функциям высокого порядка. Для функционалов, содержащих производные высоких порядков, можно использовать формулировки, не требующие предварительного выполнения условий совместности и (тем не менее) обнаруживающие хорошую сходимость (см. гл. 3). Для обеспечения условий сходимости при использовании функций такого типа необходимо, чтобы в них входили члены, дающие нулевые производные (например, члены вида + а х для функционалов, содержащих ( )/йх ), и члены, дающие в функционале производные постоянной величины (члены вида а х для рассмотренного выше случая). Вообще же модели с несовместными элементами перед применением должны быть тщательно изучены. В частности, нужно выяснить, устраняется ли влияние несовместности (разрывов аппроксимирующих функций и их производных) при стремлении к нулю размеров элементов. [c.61] Вернуться к основной статье