ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вихревой метод интегрирования из "Общая теория вихрей " Следовательно, (3.5) представляет собой полный интеграл уравнения Ламба (3.6). [c.195] что 4 — векторное поле на конфигурационном многообразии. [c.195] Тогда исходные уравнения Гамильтона (3.1) некоммутативно интегрируемы. [c.196] Напомним, что ввиду кососимметричности матрицы rottt, ее ранг — четное число. Метод явного интегрирования дифференциальных уравнений Гамильтона, использующий полный интеграл уравнений Ламба, удовлетворяющий теореме 3, будем называть вихревым методом интегрирования. [c.196] Нам надо явно указать набор независимых первых интегралов уравнений Гамильтона (3.1), удовлетворяющих условию некоммутативной интегрируемости (2.3). [c.197] Из условия ( ) получаем, что первые к интегралов находятся в инволюции со всеми функциями (3.13) (лемма 1). Следовательно, ранг матрицы скобок Пуассона набора функций (3.13) равен рангу матрицы скобок Пуассона функций (3.12). Согласно лемме 1 из 4 главы III, этот ранг равен рангу матрицы rottt (то есть 2к). [c.197] И гамильтонианом Н (см. 1). Согласно условиям ( ) и (с), функции Н = /1,/2.Л — независимые интегралы уравнений (3.14). Так как Pi,Pj = О, то функции Д./ также инволютивны относительно симплектической структуры По теореме Лиувилля, уравнения (3.14) интегрируются в квадратурах. Импульсы у находятся из соотношений у = и х,с). Неавтономный случай сводится к автономному повышением размерности фазового пространства (см. 4). [c.198] Вопрос упирается в конструктивную возможность построения п — 2к функций от интегралов (3.12), которые коммутировали бы с набором функций (3.12). Добавляя к ним к функций из условия ( ), получаем п — к функций, находящихся в инволюции сп + к интегралами (3.13). Решение этой задачи существенно упрощается, если предположить замкнутость набора функций (3.12) их скобки Пуассона выражаются через эти же функции. [c.199] Положим (для краткости) В = rot и. [c.199] Лемма 2. Набор функций Fk+i. Fk+n замкнут тогда и только тогда, когда при всех i,j = 1.и функции (Bbi,bj) не зависят от х и t. [c.199] Таким образом, проверка условий замкнутости требует лишь дифференцирований и алгебраических операций, включая обращения функций. Полный интеграл u x,t, ) уравнения Ламба назовем замкнутым, если выполнены условия леммы 2. В частности, все потенциальные решения замкнуты. [c.199] Лемма 2 — простое следствие соотношений (4.7) и (4.10) главы III. [c.199] Теорема 4 ([71]). Пусть известен полный замкнутый интеграл u x,t, ) уравнения Ламба, удовлетворяющий условиям (а), ( ), (с) теоремы 3. Тогда уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах. [c.199] Действительно, в силу лемм 1 и 2 набор интегралов (3.13) уравнений Гамильтона замкнут относительно скобки Пуассона. После этого замечания теорема 4 вытекает из неавтономного варианта теоремы А. В. Браилова об интегрируемости гамильтоновых систем с замкнутым набором интегралов, удовлетворяющих условию (2.3). Поскольку полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби порождает полный замкнутый интеграл уравнения Ламба, то классическая теорема Якоби содержится в теореме 4. [c.200] Будем считать, что / , Л,- — некоторые известные функции времени. Например, если в твердом теле имеются симметричные маховики, свободно вращающиеся вокруг своих осей, то главные моменты инерции и гиростатические моменты будут постоянными величинами. Такую систему Кельвин назвал гиростатом. В динамике изменяемого тела возможны и другие постановки задачи. Например, Зейлигер и Чета-ев рассматривали подобно изменяемое тело и для замыкания системы уравнений (3.15)-(3.16) добавляли уравнение для скорости лучистого расширения. [c.200] Обсуждение различных аспектов задачи о вращении изменяемого тела можно найти, например, в трактате Рауса [54]. [c.200] Здесь вместо ш надо подставить 1 К — Л). Это уравнение, конечно, является уравнением Ламба, только оно представлено не в канонических переменных. Переход к уравнениям (3.19) вполне аналогичен переходу от уравнений Гамильтона к уравнениям Пуанкаре—Четаева на алгебрах Ли. [c.201] Можно проверить, что в обычных канонических переменных в,рв. оно имеет тот же вид, что и в обычной задаче Эйлера (формулы (2.8) главы II). Полное решение (3.20), очевидно, замкнуто, не содержит явно времени и ранг матрицы ротора равен двум, если с ф 0. [c.201] Предположим теперь, что уравнения (3.15)-(3.16) допускают интеграл Р К,1), независимый от интеграла момента К,К). Тогда уравнения движения (3.16)-(3.17) интегрируются в квадратурах. Этот факт можно вывести из теоремы 4. [c.202] Первые две из них коммутируют со всеми остальными и ранг матрицы их скобок Пуассона равен, очевидно, двум. [c.202] Вернуться к основной статье