ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Функции Казимира и вихревые многообразия из "Общая теория вихрей " скобка Пуассона функций на g также является функцией на g. Скобка (5.1) называется скобкой Ли—Пуассона она была впервые введена Софусом Ли в его теории групп преобразований. [c.175] Для скобки Ли—Пуассона выполнены условия (1)-(4). Однако она может оказаться вырожденной могут существовать непостоянные функции, коммутирующие со всеми функциями на g. Такие функции принято называть функциями Казимира. [c.176] Она вырождена функция = т + rri + т (квадрат кинетического момента тела) коммутирует со всеми функциями на (so(3)). Согласно вихревой теории волчка Эйлера ( 2), интегральные кривые гамильтоновой системы с гамильтонианом к являются вихревыми линиями. [c.176] Лемма 6. ra , ij = О для всех i,j = l.n. [c.176] От канонических координат х,у ъ фазовом пространстве T G G X g мы можем перейти к переменным х, га. После этой подстановки нетеровы интегралы становятся функциями от х, га, линейными по rai. га . Пусть xi. ж — координаты в окрестности единицы группы G, которой отвечает значение ж = 0. [c.177] Тогда в этой точке Fu = ти (1 fe га). [c.177] Для волчка Эйлера лемма 7 имеет простой смысл. Единица группы 50(3) отвечает совпадению подвижных и неподвижных осей. Следовательно, в этом положении совпадают проекции кинетического момента на подвижные и неподвижные оси. [c.177] Предложение 4. Функции Казимира — это функции от нетеровых интегралов, не зависящие от координат на группе. [c.177] Доказательство состоит из двух частей. [c.177] Согласно лемме 6, эта функция (а, значит, и (5.4)) коммутирует со всеми нетеровыми интегралами. Ввиду совпадения вида коммутационных соотношений (4.3) и (5.2), функция (5.5) коммутирует со всеми rai. га . Значит, она — функция Казимира. [c.178] Поле V, очевидно, совпадает с полем (3.3). [c.178] Это утверждение, отмеченное в работе [71], распространяет на многомерный случай свойства а—с вихревой теории волчка ( 2). [c.179] Поскольку поля wi. Wk левоинвариантные, то эти векторы линейно независимы во всех точках группы G. Так как они коммутируют, то (по теореме Фробениуса) их линейные комбинации порождают интегрируемое fe-мерное распределение касательных векторов на G. Интегральные fe-мерные многообразия этого распределения будут как раз вихревыми многообразиями. [c.180] Если группа G компактна (как для волчка Эйлера), то вихревые многообразия — замкнутые поверхности. Это — аналог свойства замкнутости вихревых линий в случае вращающегося волчка. Поскольку fe-мерные вихревые многообразия компактны и допускают к независимых коммутирующих касательных полей, то они будут fe-мерными торами. Тор, содержащий единицу группы, будет подгруппой группы G он называется максимальным тором группы G. Максимальные торы играют ключевую роль в классификации компактных групп Ли (см., например, [1]). [c.180] Свойство компактности вихревых многообразий позволяет осуществить в целом факторизацию группы С по вихревым многообразиям. После факторизации система уравнений х = у х,с) становится гамильтоновой на фактор-пространстве четной размерности п — к. Обсуждение различных аспектов понижения порядка систем с симметриями можно найти в книге [10]. [c.181] Теорема 4. Функции Нх. /1 — функции Бернулли (они постоянны на линиях тока и на вихревых линиях), а векторные поля г 1. на группе С коммутируют с вихревыми полями гих. ад. [c.181] Согласно теореме 4 и (5.10), эти поля попарно коммутируют. Следовательно, если группа С компактна, то каждая связная компонента поверхности Бернулли будет (з + /г)-мерным тором. [c.182] Для волчка Эйлера и = 3, к = 1 (единственная функция Казимира — квадрат модуля момента), в = 1 (если тензор инерции не шаровой, то интеграл энергии независим с функцией Казимира). Соотношение (5.9) выполнено и поэтому группа 50(3) расслоена на двумерные торы — поверхности Бернулли. [c.182] Вернуться к основной статье