ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вихревая теория волчка из "Общая теория вихрей " Интегралы (2.2) имеют прозрачную групповую интерпретацию. Вращениям волчка с постоянной угловой скоростью UJ = а отвечает правоинвариантное векторное поле на 50(3). [c.155] Оно позволяет представить скорость вращения волчка как однозначную функцию на конфигурационном пространстве. Другими словами, векторное равенство (2.3) задает трехмерное стационарное инвариантное многообразие, однозначно проектирующееся на группу 50(3). В дальнейшем рассматривается нетривиальный случай, когда с - - с1- - с1 ф 0. [c.155] Для того чтобы представить инвариантные многообразия (2.3) в канонических переменных, введем в качестве обобщенных координат углы Эйлера в,1р,ф ( 5 главы I). Они однозначно определяют положение главных осей инерции твердого тела относительно неподвижного трехгранника. [c.156] Вывод этих формул можно найти, например, в трактате Уиттекера [57]. [c.157] Таким образом, найденные трехмерные инвариантные многообразия являются вихревыми. [c.157] Уравнения (2.11) хорошо известны в связи с точным интегрированием задачи Эйлера [57]. Их фазовый поток задает стационарное течение на группе 50(3). Изучим его свойства. [c.158] Справедливы следующие утверждения. [c.158] Он задает на группе 50(3) меру, инвариантную относительно всех левых и правых сдвигов. [c.159] Ввиду формулы (2.12), инвариант (2.16) отличается от (2.13) постоянным множителем. Наличие интегрального инварианта (2.14) для системы (2.10) вытекает из предложения 2 3 главы II. Поскольку sin О при О 7г, то инвариант (2.16) задает меру на группе 50(3). Непосредственное доказательство ее инвариантности относительно левых и правых сдвигов группы 50(3) можно найти, например, в книге [47]. [c.160] Следовательно, поля rot v и v коммутируют, что доказывает заключение е. [c.161] Доказательство f повторяет рассуждения 1 главы I. Если тензор инерции I не шаровой, то h onst и поэтому поле v не коллинеарно своему ротору. [c.161] Факторизация конфигурационного пространства — группы 50(3) по замкнутым вихревым линиям эквивалентна исключению угла прецессии ф. Правые части уравнений (2.11) не содержат координаты ф и поэтому уравнения для в и (р являются уравнениями на базе расслоения 50(3) вихревыми линиями. Нетрудно понять, что эта база диффеоморфна двумерной сфере, для которой в и ср будут обычными сферическими координатами. Эта сфера в динамике твердого тела обычно называется сферой Пуассона. [c.161] В переменных ф,в,(р — углах Эйлера — эта система совпадает с уравнениями (2.11), в которых к будет известной функцией времени. [c.162] Потенциалы Клебша снова имеют вид (2.17). Функция S и функция Бернулли h теперь зависят от времени. Поскольку к = —рк, то гамильтониан % из 6 главы II (формула (6.17)) равен, очевидно, функции h. Так как функция h не зависит от угла ф, то получаем обобщенную теорему Бернулли при фиксированных значениях t функция h постоянна на вихревых линиях. [c.162] Вернуться к основной статье