ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гамильтонова форма уравнений динамики из "Общая теория вихрей " Они корректно определены, если в меняется в открытом интервале (О, 7Г). [c.53] Частные производные вычисляются в точке жо. [c.53] Это гладкая функция на ТМ, которая на каждой касательной плоскости ТхМ является положительно определенной квадратичной формой. С геометрической точки зрения Т задает риманову метрику на М. Если система движется по инерции (в отсутствии внешних сил), то ее траектории — геодезические линии метрики (5.2). [c.54] Легко проверить, что это — гладкое ковекторное поле на М. Оно называется градиентом функции /. Подчеркнем, что градиент функции — это не вектор, а ковектор. Ему можно сопоставить касательный вектор только при наличии римановой метрики на М. [c.55] В соответствии с (5.1) и (5.3), это произведение является инвариантом (не зависит от выбора локальных координат). Например, если ковектор и имеет вид (5.4), то произведение (5.5) является производной функции / вдоль векторного поля V. [c.55] Функция Ь называется функцией Лагранжа или лагранжианом. [c.56] Лагранжиан Ь параметрический по виду он напоминает лагранжиан (4.1) из геометрической оптики. [c.57] Если Ь = Т - V, то эта функция будет полной энергией Я = Т + У, взятой с обратным знаком. [c.58] Отметим, что теорема Нетер восходит к более ранним наблюдениям Лагранжа и Якоби о связи классических интегралов систем взаимодействующих частиц с инвариантностью уравнений динамики относительно группы преобразований Галилея. [c.58] Здесь I I — некоторая норма в Т М. [c.59] Если Ь = Т - V, то гамильтониан будет совпадать с полной механической энергией Н = Т - -У. [c.60] Координаты Хк,Ук будут сопряженными каноническими переменными, а пространство кокасательного расслоения Р = Т М — фазовым пространством. [c.60] Любая 2-форма в нечетномерном пространстве вырождена для любой точки г Е Р найдется ненулевой вектор ТгР, такой, что ф , Г)) = 0 при всех г) Т Р. Вектор будем называть вихревым вектором. Ясно, что вихревые векторы — это собственные векторы матрицы А с нулевым собственным значением. [c.61] Найдется линейный кососимметрический оператор А, такой, что (rot а) X = А . Таким образом. [c.62] В силу формулы (5.19), вектор rota (вихрь поля а) является вихревым вектором для 2-формы ф. Эти замечания служат мотивировкой для выбранной нами терминологии в многомерном случае. [c.62] Форма ф называется неособой, если для всех z Е Р вихревой вектор i z) единственный с точностью до постоянного (ненулевого) множителя. Так, например, условием неособости 2-формы (5.17) является неравенство rota ф 0. Поскольку ранг матрицы (5.17) равен 2и, то форма (5.16) неособая. [c.62] Теорема 8. Функции (5.20) удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона с гамильтонианом Н. [c.63] Теорема 8 устанавливает вихревой принцип гамильтоновой механики. Этот результат фактически содержится в книге Эли Картана Интегральные инварианты . И. С.Аржаных распространил вихревой принцип на системы с непотенциальными силами, а также на неголо-номные системы [2]. [c.63] Вернуться к основной статье