ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вихревые движения сплошной среды из "Общая теория вихрей " Здесь у х,1) — скорость частиц сплошной среды в трехмерном евклидовом пространстве = ж , и х,1) — некоторое соленоидальное векторное поле с11уи = 0. Физический смысл поля и зависит от конкретной постановки задачи. Интегральные кривые векторного поля и (в фиксированный момент времени) будем называть вихревыми линиями. [c.15] Например, в магнитной гидродинамике (в которой рассматриваются среды с бесконечной проводимостью), уравнению (1.1) удовлетворяет напряженность магнитного поля. В этом случае вихревые линии совпадают с силовыми линиями магнитного поля. [c.15] Функция / в гидродинамике обычно называется функцией Бернулли. [c.16] Применяя к обеим частям этого уравнения операцию ротора и замечая, что ротор градиента функции / равен нулю, приходим к уравнению (1.1), в котором и = rotw. Так как divrot = О, то поле ротора всегда соленоидальное. Вихревые линии — интегральные кривые поля ротора (вихря) скорости, чем и объясняется выбор термина в общем случае. [c.16] Теорема 1 сначала была установлена В. И. Арнольдом [4] для однородной идеальной жидкости, когда р = onst. Здесь можно положить W = rotw. Общий случай рассмотрен в [32]. Если движение среды стационарно, то поля v и и/р коммутируют (хотя на первый взгляд кажется, что должны коммутировать поля и и pv — плотность импульса). Уравнение (1.13) обычно называют уравнением Эйлера для изменения момента. Оно является бесконечномерным аналогом известных уравнений Эйлера, описывающих вращение волчка (см. [64]). [c.20] Рассмотим теперь стационарные движения сплошной среды, когда все характеристики движения не зависят явно от времени. Предположим сначала, что их V ф О (вихревые движения в сильном смысле). [c.20] Тогда вихревые линии будут отличаться от линий тока — траекторий частиц жидкости (интегральных линий поля v). В этом случае каждой точке х из области течения естественно поставить в соответствие плоскость 7г(ж), порожденную линейными комбинациями независимых векторов v x) и и х) (или, что то же самое, v и w = и/р). Согласно теореме 1, поля и w коммутируют [v,w] = 0. Поэтому, по теореме Фробениуса, распределение плоскостей инволютивно (или интегрируемо) через каждую точку х проходит единственная максимальная интегральная поверхность этого распределения, у которой касательная плоскость в любой точке г G совпадает с n z). Ясно, что линии тока и вихревые линии лежат на интегральных поверхностях. В самом общем случае поверхности М могут быть погружены в весьма сложным образом они, вообще говоря, не замкнуты. [c.21] необходимое условие интегрируемости распределения тг(ж) сводится к равенству (1.17). Несложно доказать, что оно достаточно для интегрируемости. [c.21] В нашем случае условие (1.17) заведомо выполнено, так как rot 5= rot(tt X w) = О ввиду (1.1). [c.21] Доказательство этой дифференциально-топологической теоремы можно найти, например, в книге [5] (гл.10), где рассмотрен более общий случай и-мерных многообразий, допускающих п попарно коммутирующих касательных векторных полей. [c.22] Если касательные поля uuv полны на М (то есть их фазовые потоки и определены для всех р, q gM), то в некомпактном случае М диффеоморфна цилиндру или плоскости и в некоторых координатах на М линии тока и вихревые линии тоже выпрямляются в целом. [c.23] Для несжимаемой жидкости это утверждение доказано в работе [4], а в общем случае — в работе [32]. [c.23] Здесь rot = V. Как показано С.Л.Зиглиным [24], для почти всех значений А, В, С поле (1.18) не допускает непостоянных аналитических интегралов. Численные расчеты М. Хэннона показывают, что некоторые траектории всюду плотно заполняют трехмерные области на торе Т . Это свидетельствует о хаотизации течения. [c.24] Вернуться к основной статье