ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория инвариантного погружения и стохастические краевые задачи из "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах " если х) — гауСсовское поле, дельта-коррелированное по г, т. е. [c.163] Аналогичным образом можно усреднить и уравнение для функции ф( ж (1.16), соответствующей решению квазилинейного уравнения (1.14). Пример такого усреднения будет рассмотрен в следующем параграфе. [c.164] Выше мы рассматривали простейшие уравнения в частных производных. Если же имеется нелинейное уравнение в частных производных, пе относящееся к рассмотренному типу (например, содержащее члены Ддили д д дх , как это имеет место для уравнений Бюргерса, Кортевега—де Вриза или Навье—Стокса), то ничего подобного сделать не удается. [c.164] Теперь понятие плотности вероятностей не всегда имеет смысл, и приходится рассматривать уравнение в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи,. которое в этом случае играет роль стохастического уравнепия Лиувилля и называется уравнением Хопфа (см., например [29]). Усредняя последнее по ансамблю реализаций стохастических параметров, получаем замкнутое уравнение в вариационных производных. Полученное уравнение для характеристического функционала представляет собой бесконечномерный аналог уравнений, соответствующих обыкновенным дифференциальным уравнениям и квазилинейным уравнениям в частных производных. Если же исходное уравнение само является линейным, то несущественно, какие у него производные (первого или более высокого порядка по пространственным переменным) важно лишь выполнение условия причинности (т. е. уравнение должно быть первого порядка по времени и для него должна ставиться задача Коши). Если условие причинности нарушается, т. е. мы имеем не задачу Коши, а краевую задачу, то в этом случае надо воспользоваться теорией инвариантного погружения, сводящей краевые задачи к задачам Коши для вспомогательных уравнений. [c.164] Для динамической задачи (3.1), (3.2) не выполняется условие причинности, сформулированное в третьей главе, т. е. решение этой задачи х 1) в момент времени I функционально зависит от случайных сил Р (т, х (т)) для всех О т Г. Более того, даже краевые значения х (0) и х (Г) являются функционалами поля Р (т, х). Поэтому методы анализа статистических характеристик решения уравнений (3.1), развитые в третьей и четвертой главах, к данной задаче не применимы. [c.166] Отметим, что для этой задачи вход и выход (О и Т) для системы симметричны. Поэтому к решению краевой задачи можно подходить не только со стороны Г О, но и, наоборот, О - Г. При этом функции 8 = х(0) VI М = х(Т) как бы меняются местами, т. е. задачу легко переформулировать таким образом, чтобы функция 8 (а) удовлетворяла уравнению по а типа (3.4) с начальным условием при а- Т, а само решение задачи х ( ) удовлетворяло линейному уравнению типа (3.5). [c.167] Отметим, что уравнение (3.9) содержит переменные Х только в параметрическом виде. Поэтому функция также удовлетворяет уравнению (3.9) с начальным условием при Г = О, выте-каюш,им из начальных условий (3.4), (3.7). [c.168] Для уравнения (3.9) уже можно использовать непосредственно результаты предыдущих глав. Так, если флуктуирующая часть Р ( , х) является дельта-коррелированным по г полем, то легко выполнить усреднение в уравнении (3.9) и получить замкнутое уравнение для соответствующей плотности вероятностей Рг, = = (фг ). Аналогичным образом можно получить замкнутые уравнения и в случаях, когда флуктуирующие части функций (t, х) имеют структуру г (t)F t, х), гд 2 ( ) — телеграфный или обобщенный телеграфный процесс, а (1, х) — детерминированные функции. [c.168] Отметим, что если функции Р( t, х) в правой части (3.1) являются линейными по х, то и решение уравнений (3.4) — (3.6) можно искать на классе линейных функций по V. При этом мы приходим к матричным уравнениям Риккати с квадратичной нелинейностью. [c.168] Проиллюстрируем излонжнную методику на простейших задачах (простейших по постановке, но не по возможностям решения непосредственно в лоб ). [c.169] Краевые условия (3.13) соответствуют либо взаимодействию мод с заданными значениями на границах среды (Р = 0), либо взаимодействию мод с условием отражения при 1 = 0 и, = 0). [c.169] Отметим, что для нахождения высших моментных функций решения задачи (3.12) следует либо выделить действительные и мнимые части решения, либо перейти к их амплитудам и фазам. Такой подход мы предпримем в седьмой главе при изучении краевой задачи для одномерных волн. [c.170] Отметим, что динамическая система (3.21) описывает также в малоугловом приближении задачу о диффузии в случайно-неоДно-родной среде лучей, приходящих в заданную точку (см., например, гл. 10). [c.170] И предполагая, что поле случайных сил f [Т, V) — гауссовское дельта-коррелированное по Т, т. е. [c.170] Другой подход к рассматриваемой проблеме предложен в работе [71], где проанализирован также вопрос о возможной не единственности решения краевой задачи, что мы не принимали в расчет. Отметим только следующее, важное, на наш взгляд, обстоятельство. [c.172] Как мы говорили в первой части книги, дельта-коррелированных процессов в природе не бывает, и аппроксимация флуктуирующих параметров дельта-коррелированными процессами может быть обоснована для задачи Коши. Если же имеется краевая задача, то флуктуирующие параметры могут обладать, помимо динамического радиуса корреляции, также характеристиками, связанными с размером системы (например, волна, падающая на зеркало, после отражения проходит через те же неоднородности). В этом случае условие дельта-коррелированности параметров надо понимать как условие для задачи Коши теории инвариантного погружения. [c.172] Теория инвариантного погружения может быть очень эффективным аппаратом и при анализе стохастических интегральных уравнений ). [c.172] Характерной чертой уравнепия (3.35) является отсутствие условия динамической причинности. [c.173] Уравнения (3.43), (3.45) удовлетворяют условию причинности, поскольку для них решается задача Коши. [c.174] Следовательно, статистическая задача для уравнения (3.40) полностью описана. Переход к задаче (3.35 ) осуществляется, как говорилось выше, при (, Т - оо, если (Т — г) — фиксированная величина. Однако, как легко видеть, уравнение (3.48) не дает стационарного распределения вероятностей и, следовательно, все статистические характеристики величины (7 ( , Т) нри этом предельном переходе стремятся к оо, что полностью противоречит приближению Бурре (и лестничному приближению для уравнения Бете — Солпитера). Со статистической точки зрения уравнение (3.35 ) бессмысленно. [c.175] Вернуться к основной статье