ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Процессы телеграфного типа из "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах " Поскольку для описанной выше задачи вариационная производная бЛ4,/б2 ( х) выражается через сам функционал Л,,, получаем, что среднее значение величины в правой части (3.3) связано с одновременными средними функционала Л,,. [c.122] Формула (3.3) существенно упрощается для линейных систем. В этом случае функционал Я, линейно зависит от 7 , [г (т)] и величина дйt/дRt, является функцией Грина для системы 5фавнений в случае отсутствия флуктуаций, т. е. при 2 — 0. В результате получается замкнутое уравнение для Л( . Это уравнение было получено ранее в работе [18]. [c.122] Покажем, как использовать ее для анализа стохастических уравнений. [c.122] В общем же случае уравнение (3.21) описывает искажение распределения (3.22) за счет конечности времени корреляции Тц /г V процесса 2 ( ). [c.126] Умножая теперь (3.25) справа на оператор Ь а), получаем формулу (3.24). Уравнение (3.23) имеет достаточно сложный вид, и, по-видимому, решить его для произвольного поля и (х) затруднительно. Легко видеть, однако, что решение уравнения (3.23) ун е не будет являться функцией одной только энергии частицы, как это имеет место в (3.22), а также то, что координата и скорость частицы будут уже статистически зависимыми величинами. [c.126] Вернемся теперь к общему случаю процесса г t) вида (1.3.26), где а — случайная величина с заданным распределением вероятностей р (а). Как указывалось выше, в этом случае, вообще говоря, невозможно получить замкнутое уравнение для характеристического функционала и, следовательно, невозможно провести замкнутое описание динамических систем. Остается единственная возможность решения задачи, заключающаяся в том, чтобы рассматривать величину а как детерминированную. Если при этом удается написать явное решение такой задачи, то окончательный результат получается последующим усреднением по случайной величине а. [c.127] Чтобы перейти от уравнения (3.37) к дифференциальному уравнению, требуется знать конкретное распределение вероятностей случайной величины а. [c.130] Уравнения (3.53 ), (3.53 ) являются замкнутой системой двух векторных уравнений. [c.134] Отметим, что в частном случае скалярного уравнения с параметрами А = О, ( ) = у 1) уравнение (3.53 ) описывает характеристический функционал процесса 2 ( ). Исключая из системы (3.53 ), (3.53 ) функцию 2 ( ) х , мы получаем дифференциальное уравнение для характеристического функционала процесса 2 ( ), совпадающее, естествепно, с уравнением (1.4.55). [c.134] Уравнение вида (3.54) для марковских процессов z (г) рассматривалось в работе [55], где было получено в случае постоянных во времени ai t) и Ьц 1) выражение для преобразования Лапласа среднего значения ж)р в виде цепной дроби (конечной или бесконечной) для различных марковских процессов. Получим этот результат для гауссовского марковского процесса, используя развитые выше методы. [c.135] Отметим, что выражение (3.71) другим путем впервые было получено в работе [55]. [c.138] Вернуться к основной статье