ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение к проблеме устойчивости из "Лекции по небесной механике " Области, дополнительные к канторову множеству, вообще говоря, содержат также гиперболические неподвижные точки, которые еще больше усложняют глобальную картину. Возможно, что эти так называемые области неустойчивости содержат открытые множества, в которых итерации отдельной точки плотны. Впрочем, о поведении отображения в этих областях мало что известно. [c.317] Может показаться удивительным, что инвариантные кривые могут быть получены с помощью сходящегося итерационного процесса, в то время как преобразование к нормальной форме, вообще говоря, расходится, особенно если учесть, что конструкция инвариантных кривых также основана на технике преобразований. Ответ на этот кажущийся парадокс прост и состоит в том, что нри изучении нормальной формы мы строили разложения в ряды около фиксированной неподвижной точки и интересовались сходимостью в некоторой окрестности этой точки, в то время как построение инвариантной кривой связано с разложением вблизи соответствующей невозмущенной кривой. [c.317] Таким образом, они не имеют общего множителя, и мы заключаем, что отображение имеет самое большее 3 = 3 неподвижных точек. [c.318] Этот пример показывает, что ответ на вопрос о сходимости зависит не от теоретико-числовых свойств собственных значений, а скорее от природы нелинейных членов. Это сильно отличается от того, что было нами получено для конформного отображения в 25, где устойчивость, так же, как и сходимость преобразования к нормальной форме, полностью определялись линейной частью отображения. [c.318] Теорема, изложенная в предыдущих двух параграфах, имеет многочисленные применения к гамильтоновым системам с двумя степенями свободы — в особенности к вопросу об устойчивости периодических решений. Как мы видели, задача об изоэпергетической устойчивости такой периодической орбиты может быть сведена к вопросу об устойчивости неподвижной точки некоторого двумерного отображения, сохраняющего площадь. В качестве применения мы еще раз вернемся к много раз обсуждавшейся ограниченной задаче трех тел. [c.319] Как мы упоминали в 31, нри to = Ъ/д, где д — целое число, не делящееся на 3, Леви-Чивита доказал, что соответствующие орбиты на самом деле неустойчивы. Таким образом, лишь случай и = 4/д остается нерассмотренным. Впрочем, если и = 4/д и д нечетно — случай, к которому непосредственно наш результат не применим, то можно в действительности доказать устойчивость при достаточно малом fi. [c.320] Вернуться к основной статье