ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод малого параметра из "Лекции по небесной механике " Следовательно, может быть и случай р, = 6 = когда все массы равны. [c.185] В первом параграфе этой главы рассматривался метод определения периодических решений системы Гамильтона с помощью степенных рядов. В двух предыдущих параграфах были ио.лучепы этим методом периодические решения плоской задачи трех тел, которые имеют значение в теории движения Лупы. В этом параграфе будет рассмотрен третий метод определения периодических решений системы дифференциальных уравнений. Большая часть изложенных ниже результатов имеет место пе только при регулярности, по и при более слабых предположениях все же ради простоты предположепие о регулярности будет в дальнейшем сохранено. [c.185] По теореме о единственности решений дифференциальных уравнений равенство (11) справедливо при всех t, если оно верно хотя бы при одном значении, например при i = 0. Поставим вопрос, имеет ли система (1) периодические решения для несколько измененных начальных значений а. [c.190] Пуанкаре распространил свой метод и на общий случай, когда правые части дифференциальных уравнений зависят явно от i при этом правые части должны быть, однако, периодическими функциями t. Предполагается, что существует периодическое решение с тем же самым периодом легко показать на примерах, что аналогично подсчитываемый определитель по крайней мере не всегда равен нулю. Последнее правдоподобно, так как для обоснования равенства нулю определителя существенную роль у нас играла стационарность потока. Мы не будем больше здесь и далее углубляться в важные и интересные вопросы, связанные с теорией дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Большую часть известных методов и результатов этой теории можно истолковать с помощью рассмотренных нами стационарных потоков кроме того, при начальном рассмотрении не решенной еще задачи следует ограничиваться разбором простых нетривиальных случаев. [c.193] Наконец, если а будет переменной, а 7 = 7 фиксировано, при тех же предположениях получаем существование соответствующих разложений по степеням а — а. Тогда, следовательно, для каждого а вблизи а существует в окрестности исходного решения периодическое решение с одним и тем же значением постоянной интеграла 7 = 7. [c.196] Для действительного определения тех разложений в степенные ряды, о которых шла речь, необходимо, разумеется, знать полное решение x t, С) в окрестности , t = т в то время как для того, чтобы проверить, отличен ли соответствующий функциональный определитель от нуля, требуется только интегрирование линейной системы (7) с использованием уже известного исходного периодического решения. [c.196] Если будет известно большее число интегралов, не зависящих от t, то метод можно соответствующим образом изменить, но не очень сильно. [c.196] Аналогично можно рассмотреть случай, когда 7 убывает от значения 7. С другой стороны, можно опять начать процесс продолжения при 7о и получить в данном случае другие точки ветвления 71, 72,. .. при действительном продолжении решения в интервале от к-1 до (к = 1, 2,. ..). Такое продолжение будет возможным, если не встретится какой-нибудь исключенный из рассмотрения случай, т. е. либо если С-у покинет область С, либо если т-у будет неограниченно возрастать. [c.200] Вернуться к основной статье