ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Построение моделей на основе упрощения фурье-представления уравнений Навье—Стокса из "Системы гидродинамического типа и их применения " Системы уравнений, рассмотренные ранее, конструировались с помощью суперпозиции триплетов. При этом, кроме хорошо изученных свойств отдельных звеньев этих систем, использовался принцип подобия элементов, составляющих моделируемую систему. Представляет интерес рассмотреть вопрос об интерпретации построенных уравнений с помощью каких-либо систем гидродинамического типа, получающихся при разложении уравнений гидродинамики по полному набору ортогональных функций. Такое разложение приводит к уравнениям, характер зацепления отдельных триплетов в которых, как уже отмечалось ранее, оказывается довольно сложным. Поэтом) выделение из них подсистем, описываемых наиболее активными модами (для конкретных систем с заданным способом возбуждения), с отбрасыванием ряда малоэффективных взаимодействий, позволяет исследовать свойства получаемых уравнений, которые моделируют реальные нелинейные процессы. [c.193] Ниже проводится такое выделение наиболее существенных взаимодействий на основе фурье-представления уравнений Навье—Стокса [64]. Отметим предварительно, что такой подход к построению упрощенных уравнений турбулентности уже рассматривался рядом авторов. Сюда относятся работы, в которых уравнения Эйлера (в фурье-представлении) обрывались на некотором конечном числе мод. Так, для двумерных течений выписывались малопараметрические уравнения, сохраняющие интегралы энергии и квадрата вихря, причем количество динамических переменных определялось небольшим числом сохраняемых в модели волновых чисел [148, 149, 120, 242]. Отметим, что в последних грех работах обсуждается вопрос, связанный с появлением при обрывании спектральных уравнений для двумерных потоков ряда других интегралов движения, в том числе и квадратичных, отличных от энергии и квадрата вихря. Показано, что, кроме двух последних интегралов, все остальные (квадратичные) зависят от способа обрывания уравнений. [c.194] Как следует из сделанного выше замечания, в уравнениях (9) достаточно точно описан вклад областей суммирования по kl, в которых ki k и Вклад других же областей, таких, как II, III, IV и примыкающих к ним, представлен в (9) довольно грубо. [c.199] Выпишем уравнение для i i(fe ), предварительно составив таблицу векторов ei(s ) и e lsi), =1.6 (табл. 4). [c.200] Таким образом, уравнения (19) (при у = 0) представляют собой систему гидродинамического типа. [c.203] соответствует колмогоровскому спектру (в левой части стоит величина, пропорциональная энергии п-го уровня), поскольку при достаточно больших п. [c.204] Система распалась на две независимые. Из второй подсистемы легко получить, что при я О, /г = О,. .Ы, собственные значения положительны, т. е. разность Пп — Фп экспоненциально возрастает. При г ) О собственные значения второй подсистемы отрицательны. Однако первая подсистема, полностью совпадающая с рассмотренной в 2, 3, как было показано, имеет положительные действительные части собственных значений. Итак, при Ьо= система (26) неустойчива. [c.205] Отсюда следует, что все собственные значения различные и мнимые, кроме одного, которое равно нулю. [c.206] Включение в систему вязкости приводит к появлению отрицательных действительных частей. [c.207] Аналогичное рассмотрение можно провести и при добавлении в систему следующих членов с и т, д. Анализ соответствующих систем уравнений показал, что корни с положительной действительной частью не появляются, а их значения близки к получаемым из уравнения (31). [c.207] Численное исследование устойчивости системы (26) при Ф 1 показывает, что система оказывается неустойчивой, т. е. уравнения (20) имеют устойчивое стационарное решение лишь при Ьд = —1. Этот случай может реализоваться только при специальном способе возбуждения исследуемой цепочки уравнений. В общем же случае решение имеет нестационарный характер. [c.207] Вернуться к основной статье