ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Галеркина в применении к уравнениям гидродинамики из "Системы гидродинамического типа и их применения " Здесь a i)—коэффициенты в разложении (3), которые теперь зависят от времени. Заметим, что для ортогонального базиса фа (л ) вид галеркинских уравнений существенно упрощается. [c.11] Если —нелинейный оператор, указанную процедуру дискретизации также можно выполнить, но левая часть (6) будет зависеть от коэффициентов разложения уже нелинейным образом (см. пп. 2—4 1). [c.11] Доказательство сходимости и обоснование применимости метода Галеркина к различным задачам математической физики, как правило, являются весьма трудными вопросами, требующими в ряде случаев специального рассмотрения с учетом конкретных условий в постановке задачи. Здесь мы не будем касаться их, отсылая читателя к специальной литературе, упомянутой выше. Отметим только, что наиболее полно критерии применимости и сходимости метода сформулированы для линейных уравнений, в том числе для широкого круга нестационарных краевых задач [35]. Обоснование указанной процедуры к нелинейным задачам обсуждается в [220]. В отношении уравнений гидродинамики эти вопросы достаточно полно исследованы в (44, 122, 253]. [c.11] Дискретную аппроксимацию условия минимакса можно строить на функциях, лежащих за пределами Sifi. [c.13] Выбор естественного базиса в нелинейных задачах, как правило, требует специального рассмотрения. Один из распространенных способов состоит в использовании в качестве базиса собственных функций соответствующей линейной задачи, которая формулируется в результате линеаризации исходной нелинейной системы относительно известного стационарного состояния. В задачах гидродинамики, кроме того, с этой же целью нередко используют собственные функции оператора Лапласа с учетом граничных условий и геометрии области, занимаемой жидкостью. Рассмотрим несколько конкретных примеров применения метода Галеркина в гидродинамике с учетом специфики в постановке задач. Это позволит, в частности, получить простые малопараметрические динамические системы, играющие важную роль в исследовании различных типов гидродинамической неустойчивости. Уместно также отметить, что метод Галеркина эффективно используется для решения сложных математических проблем статистической гидромеханики, подробное изложение которых содержится в [36 . [c.13] Здесь г (дг,/)—поле скоростей, V—кинематическая вязкость, f—внешняя массовая сила, давление р определяется, как обычно, из условия несжимаемости р—плотность жидкости. [c.14] Интеграл распространяется по всей области О, занятой жидкостью, а точка означает обычное скалярное произведение векторов и х) и (л ) в точке х. [c.14] Свойства оператора, соответствующего этой задаче, описаны в монографии Ладыженской [139], обозначениями которой мы и воспользовались. [c.14] Здесь ро = onst —средняя по объему плотность жидкости степень неоднородности жидкости характеризуется следующим выражением для локальной плотности р = р (1—рГ), Р—коэффициент объемного расширения среды, 7 —отклонение температуры от некоторого постоянного среднего значения Тд, так что gf T есть результирующая архимедовой и гравитационной сил, действующая на единицу массы g—ускорение силы тяжести), k—коэффициент температуропроводности, Q — источник тепла. [c.17] Понятно, что из-за включения [в систему уравнений. движения нелинейного уравнения переноса тепла (16) динамические системы, получаемые из (15), (16) методом Галеркина, должны иметь более сложную структуру, чем в случае однородной жидкости. Проиллюстрируем,это, следуя Зальцману [113], на задаче о рэлеевской конвекции в слое жидкости бесконечной горизонтальной протяженности со свободными верхней и нижней границами. Выбор таких границ сделан ради простоты и не является принципиальным. [c.18] Здесь 5 (Л, В) — якобиан по горизонтальным координатам, 2k и 2h , k и А —коэффициенты трения и теплообмена на подстилающей поверхности и поверхности раздела двух слоев соответственно, 0 —заданная температура подстилающей поверхности, Н—глубина жидкости, — коэффициент теплового расширения, f—параметр Кориолиса, который в модельной постановке задачи предполагается постоянным ). Соотношение (27) является следствием геострофического и гидростатического балансов (22) и называется уравнением термического ветра. Эффективность метода Галеркина, примененного к системе (23)—(27), показана в работах [136 — 138, 156, 158, 168, 169], посвященных исследованию лабораторных течений, которые наблюдаются во вращающихся цилиндрических и кольцевых сосудах с жидкостью, подверженной внешнему горизонтально неоднородному нагреву. Такиетечения, несмотря на огромное различие в размерах, во многих отношениях схожи с крупномасштабными атмосферными течениями. [c.23] Здесь r = rla, J —функция Бесселя n-го порядка и / — m-n положительный корень уравнения У = 0. Постоянные в (28) подобраны так, чтобы среднее значение каждой из величин fom. п(п и Р по кругу радиуса г = 1 было равно единице. [c.24] Последние два инварианта следует интерпретировать как энтропию и полную энергию замкнутой системы. [c.26] Это означает, что полученная динамическая система обладает важнейшими законами сохранения, чего не всегда удается достигнуть при использовании метода Галеркина. Например, конвективная модель, рассмотренная в п. 3, уже не обладает такими свойствами. Динамические системы, аналогичные (30) — (34) и более сложные, эффективно используются для описания атмосферных движений в [50—52]. [c.26] Из приведенных выше примеров видно, что методом Галеркина можно получить большое разнообразие нелинейных динамических систем разной степени сложности и различной степени близости к исходным уравнениям гидродинамики. Особый интерес представляют модели г мальпй числом внутренних параметров, например (14), (21). Как будет показано ниже, сильно упрощенные аналоги гидродинамических уравнений нередко доступны аналитическому описанию и вместе с тем позволяют объяснить ряд важных механизмов гидродинамической неустойчивости. [c.26] Вернуться к основной статье