ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Формулы Коши. Обобщение из "Теория вихрей " Если в момент ig существует потенциал скоростей, т. е. [c.11] Но мы сможем заменить уравнения Коши и Гельмгольца другими, лосколько отличающимися, ив которых и будем исходить. [c.11] Для i = io имеем 5q = 0, ho нет никаких оснований считать, что это будет так и при t ф tg. Становится ясным, каким образом теорема Лагранжа перестает быть справедливой для жидкостей, когда внешние силы неконсервативны. [c.13] Правая часть равна нулю, если у принимает то же значение после обхода контура L. Следовательно, l = onst, что и требуется доказать. [c.14] Иравая часть дает поток вихря через поверхность 6 или интенсивность вихрей, пронизывающих ее. Интенсивность эта равна, следовательно, циркуляции вдоль Ь. [c.14] Пересечение двух вихревых доверх ir остей является вихревой линией так как вихрь Q, будучи касательным одновременно к двум поверхностям, пойдет по касательной и к линии их пересечения. [c.15] Эта теорема переноситоя и на вихревые линии, так как они рассматриваются как пересечения двух вихревых поверхностей. [c.15] Вихреваа трубка. Ее интенсивность. Для замкнутой линии L, окружающей трубку, циркуляция не обязательно равна нулю. Она сохраняет одинаковое значение для различных замкнутых линий, один раз охватывающих трубку. Достаточно, в самом деле, записать, что полная циркуляция равна нулю вдоль сложной линии, изображенной на рис. 2. Отсюда видим, что интенсивность трубки равна постоянному значению циркуляции вдоль L. [c.15] Следствие. Вихревая трубка не может кончаться внутри жидкости она или замыкается сама на себя, подобво кольцу, или заканчивается на стенке сосуда, или простирается шйо до бесконечности, либо до поверхности разрыва. [c.15] Ив всего предшествующего следует, что движущаяся жидкость состоит 1) из области, где нет вихрей, — области, которая перемещается и, может быть, деформируется во времени, но никогда не содержит вихрей, и 2) ив вихревой области, составленной ав вихревых нитей, обладаюш их описанными выше свойствами. [c.16] Если линия L, ввятая в невихревой области, может быть стянута в точку нехферывной деформацией, не выходя из этой области, то циркуляция равна нулю и 9 принимает то же аначение после полного обхода линии L. [c.16] Далее видим, что соответственно порядку связности объема, занятого невихревою жидкостью, функция 9 может быть однозначна или обладать одной или многими циклическими постоянными, соответственно обходу тех или иных поверхностей (например, имеющих форму кольца). Мы не будем останавливаться на этом вопросе, а перейдем к основной вадаче. [c.16] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПО ЗАДАННЫМ ВИХРЯМ. [c.17] Если скорости предположить известными всюду в момент времени t, то совершенно ясно, что мы непосредственно узнаем вихри. Обратно, предположим известными вихри. Можно ли вычислить скорости Мы будем считать, что речь идет о несжимаемой жидкости, которую можем предположить как неограниченной, так и заключенной внутри сосуда, покоящегося или движущегося. Жидкость тогда состоит ив вихревых трубок или колец, в которых функции (5, , Q отличны от нуля и которые окружены частицами жидкости без вихрей, т. е. где 5, r , С равны нулю функции ( , r , Q, следовательно, вообще говоря,—разрывны в области, занятой жидкостью в целом. Мы будем предполагать сосуд односвявным и ваполненным жидкостью. [c.17] Согласно 2°, имеем Д р = О, и, согласно 3°, - = О на поверхности сосуда. [c.18] Следовательно, М равно нулю во всем V. [c.20] Вернуться к основной статье