ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свойства отображения из "Лекции по небесной механике " В предыдущем параграфе мы построили отображение 3 К, область определения В.+ которого совладает с Ф 0 при, 7 = ос и лежит внутри гладкой кривой при J оо. На области Д+ определены также две функции Г+(г , г) и Х+ п, т) напомню, что Г+(г , г) — ближайший следующий за г момент, когда ж = О, а Х+ ь, т) значение в этот момент (рис. 21). Аналогично, па области К определены функции Г ( ( , г) — ближайший предшествующий г момент, когда ж = О, и Х (г, т) = х(Т у, г)) . Отображение 5 ( , г) ( , г ) отвечает переходу от одного нуля решения ж(i) к следующему (рис. 21) Т+ у. т) лежит между г и г и для пары начальных условий ( , т ) играет роль момента Т , т. е. [c.82] Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана ш = р 1х — Н М на плос-кости X = о принимает вид и = М, и па Ф, где р = V и t = т — полярные координаты, равен с обратным знаком площади, ограниченной контуром 7- Так как сохраняется при сдвиге по траекториям фазового потока, а отображение 3 именно так и получается, то 3 сохраняет площадь на Ф. [c.83] Если / 00, то из сохранения площади выводится также, что почти все решения уравнения (1), гиперболические или параболические при i —00 (i +оо), будут таковыми и при i -Ьоо —ос). Это утверждение является следствием известной теоремы Э.Хопфа ([65] или [66, гл. 6]), но все же поучительно привести его доказательство, поскольку оно несложно и наглядно). [c.84] Аналогично равна нулю и мера множества (Я+ и П+) П (В и 05 ), что и утверждалось в теореме 1. [c.84] При достаточно большом п обе области G и SG непусты, содержат точку О и имеют одинаковые площади, а потому их границы Г и 5Г имеют общие точки. Следовательно, имеют общую точку (X, Т) и кривые 7 = Р-Г и 7 = Р-5Г = Р+Г. [c.85] Таким образом, искомая неподвижная точка найдена. [c.85] К сожалению, мне не удалось доказать выделенное выше предположение о звездности 7 при общих предположениях А-Е относительно функции Q. Для каждого фиксированного п его можно получить, потребовав, чтобы функция Q мало отличалась от стационарной, поскольку в стационарном случае кривые (11) и их образы при отображении Р+ суть окружности. Можно ли то же самое проделать для бесконечно многих п одновременно — неясно. Поэтому для доказательства существования бесконечного числа субгармоник периода 4тгп, как это сформулировано в теореме 1, приведенное выше рассуждение пришлось несколько изменить. [c.85] Если теперь найдется такое с, что для некоторой точки из пересечения Ге П 5Те (оно не пусто, так как б сохраняет площадь) выполняется (11), то все приведенные выше рассуждения остаются в силе и эта точка будет неподвижной для отображения 8. [c.86] Из предположений А Е можно вывести, что вдоль дуги а разность — Т — ос при с — J. Поэтому для всех больших п на ней найдутся точки, где выполнено (11), что и заканчивает доказательство. [c.86] Нетрудно сообразить, что начальные условия (г), г), принадлежащие змее , порождают решения типа Я , т.е. имеющие при 1 т ровно 1 нуль и гиперболические при t — —оо (рис. 26, а). Различие между этим рисунком и рис. 24, б) вызвано, с одной стороны, нашим соглашением рассматривать только V О (что привело к зеркальному отражению ОХ, а с другой — тем, что т стоит теперь там, где раньше стояло г, что соответствует выполнению отображения 5 П . [c.87] Пересечение II П 3 11 заведомо не пусто. В самом деле, на дуге кривой Н и, т) = г), которая в координатах (14) есть часть биссектрисы 1 = 7/ (рис. 29), лежит последовательность неподвижных точек отображения 3. сходяшаяся к Р = (0,0), Начиная с некоторой, все они лежат в С/, а следовательно, и в С/ П 8 11. [c.91] Обозначим через I компоненту множества и П Я и, содержащую эту точку. [c.91] Наша ближайшая цель показать, что I и 81 располагаются в II правильно (см. рис. 18 в предыдущей части). [c.91] Проведем через ро отрезок А вертикальной прямой до пересечения с границей 1 образ А обозначим Л (рис. 29). [c.91] Теперь уже без труда проверяется, что компонента I является криволинейным четырехугольником, ограниченным отрезками прямых С = и двумя кривыми 7, построенные для qi = Аналогично, SI ограничено отрезками прямых г/ = в и двумя дугами — образами вертикальных сторон /, которые каждую горизонталь t = r е пересекают ровно в одной точке. [c.92] Как уже было отмечено, для решений с начальными условиями из / время возвращения г — г отличается от 2ттп (т.е. от времени возвращения периодического решения, соответствующего неподвижной точке Ро) не более чем на удвоенное колебание полярного угла в U. Поэтому, если окрестность U достаточно мала, то I не может содержать двух неподвижных точек с различным временем возвращения (для неподвижных точек оно всегда кратно 2тг). А так как каждому п -/V отвечает неподвижная точка со временем возвращения 2тгп и при достаточно большом N все они удовлетворяют условию о то / П S U содержит счетное число компонент описанного выше типа (мы будем далее называть их правильными ) на рис. 30 показаны две из них. [c.93] Теперь уже можно начинать проводить рассуждения, сходные с теми, которые употребляются в связи с подковой Смейла и ее обобщениями, рассматривавшимися в предыдущей части. Правда, отображение S I SI теперь нелинейно, но ключевым свойством, а именно сильным растяжением по одним направлениям (близким к вертикали) и сильным сжатием по другим (близким к горизонтали), оно все же обладает. Подробное обоснование дальнейших рассуждений можно найти в [59, 1]. [c.93] ПС пусты. Первое из них вытянуто вдоль / ц и является графиком непрерывно дифференцируемой функции r = f ) второе вытянуто вдоль Slm i и является графиком функции = g r ) (тоже класса С ) наконец, ip(u)) — точка. [c.93] Соглашение ni О П2, принятое в определении допустимых последовательностей символов, не безобидно, а именно гомеоморфизм Т сдвига влево определен теперь не на всех последовательностях W = [о П1 п Пг], а лишь на тех, у которых П2 О (и, следовательно, Wo — натуральное число N) область определения Т обозначим Д+. Соответственно, Д = ТД+ состоит из тех w, у которых rii —1. [c.96] Область определения рассматриваемого нами отображения S R+ — R так ке не совпадает со всей плоскостью Ф, а потому понятия траектория и инвариантное множество нуждаются в уточнении. Траекторию S точки р мы будем считать максимально продолженной в обе стороны (до тех пор, пока итерации вообще определены) множества М условимся называть инвариантным, если 5(М П Д+) = М П R . Пусть окрестность V произвольна. Совокупность всех точек р, траектории которых целиком лежат в V, является максимальным ипвариаптпым множеством, содержащимся в V мы будем обозначать его Му. [c.96] Вернуться к основной статье