ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эволюция системы. Проблема захвата из "Лекции по небесной механике " Как уже было сказано, в задаче Кеплера или в приводящейся к пей задаче двух тел финальный тип движения определяется знаком константы энергии и остается одним и тем же как при t -Ьоо, так и при t —оо. В своих мемуарах [39] и [40] Ж. Шази сформулировал аналогичное утверждение и для задачи трех тел, и довольно долго математический, и особенно астрономический, мир был убежден, что такая замечательная симметрия действительно имеет место. В ее пользу говорило также и то, что во всех случаях, когда удавалось получить точные результаты (не использующие численного интегрирования), поведение решений при t сх) оказывалось одним и тем же. Кроме частных решений (Эйлера, Лагранжа, периодических решений Пуанкаре и т. д.) можно упомянуть здесь еще о теоремах Биркгофа [1], гл. 9, из которых следовало, что множества ПН и НЕ ПНЕ содержат внутренние точки. [c.44] В этих теоремах, по-видимому, впервые появляется то, что впоследствии стали называть критериями финального типа движения. Эти критерии выглядят так. Системой неравенств определяется некоторое подмножество (обычно область) в фазовом пространстве и доказывается теорема если начальные условия принадлежат выделенной области, то финальный тип дви кения такой-то. [c.44] Некоторый диссонанс в симметричную картину Шази вносили лишь примеры Л. Беккера [36], полученные при помощи численного ип-тегрирования. Начальные условия и интервалы интегрирования в этих примерах были подобраны так, что оказывалась очевидной принадлежность движения классу НЕ П НЕ , если, впрочем, поверить, что при / эо оно действительно гиперболо-эллиптично. Изменение класса движения противоречило результатам [39], [40], однако Шази приписал это ошибкам численного интегрирования и невозможности проследить за поведением решения на бесконечном интервале времени и даже заметил по этому поводу, что точный математический анализ демонстрирует здесь свое преимущество перед приближенными численными методами исследования. [c.44] Шмидта. Согласно этой теории, планеты Солнечной системы возникли из окружавшего Солнце метеорно-пылевого облака, само же это облако было захвачено Солнцем при прохождении через пылевую туманность. Если ограничиться лишь чисто гравитационными взаимодействиями, то подобный захват означает изменение финального типа движения при переходе от i = —оо к t = -boo. Хотя выводы Шази относились лишь к задаче трех тел и использовать их для аргументации против возможности захвата в задаче многих тел было нельзя, все же это вызывало по отношению к теории Шмидта оправданный скептицизм. Чтобы подкрепить свою гипотезу, Шмидт построил [34] численным интегрированием контрпример к основному утверждению мемуара [40]. В этом примере из трех независимых в прошлом звезд (движение типа Н ) образуется устойчивая подсистема (двойная звезда), в то время как третья звезда снова уходит в бесконечность (движение типа НЕ ). Происходящее при этом явление mojkho назвать частичным захватом. [c.45] Основанный на численном интегрировании пример Шмидта был уязвим для критики с тех же позиций, что и примеры из [36]. Одно из выдвигавшихся возражений было преодолено сотрудником Шмидта — Г.Ф.Хильми [33], [13], который построил критерии гиперболического и гиперболо-эллиптического движений, в том смысле, как было сказано выше. Возникшая ситуация схематически изображена на рис. 6. [c.45] Дискуссия вокруг проблемы захвата вызвала к жизни длинный ряд исследований, посвященных как критическому разбору работ Шази, так и всей проблематике, связанной с финальными типами движений (кроме упомянутых выше, см. [22, 23, 27, 16] и др.). Некоторые из относящихся сюда результатов отражены в таблицах 1 и 2. Каждая клетка отвечает одной из логически возможных комбинаций основных типов финальных движений — Н, НЕ ,., В, ОБ — в прошлом и будущем и описывает тем самым некоторый тип эволюции системы. Приведены авторы и указаны даты, в которые были найдены соответствующие типы впрочем, эти сведения иногда несколько условны. Указана также и лебегова мера соответствующего множества в многообразии Следует иметь в виду, что из-за симметрии времени каждое исследование, относящееся к одной из клеток, в равной мере относится и к симметричной ей относительно главной диагонали. Так, существование примеров частичного захвата Н Г НЕ означает в то же время и существование примеров полного распада НЕ П Н+. [c.47] В случае Ь, О (таблица 1), вопреки мемуару [40], оказались осуществимыми все логически возможные типы эволюции. [c.48] Поскольку множества и открыты, это автоматически обеспечивает положительную вероятность (мера 0) каждого типа. Например, из существования частного решения Лагранжа, в котором все три тела движутся по гиперболам около общего центра тяжести, образуя все время правильный треугольник, вытекает, что множество Н H+ не пусто, а, следовательно, имеет положительную меру. В таблице 1 на соответствующей клетке стоит Лагранж, 1772 и Шази, 1922 хотя с не меньшим основанием здесь можно было написать Биркгоф, 1927 , что я и сделал в [35] (открытость множеств Н+ и Н была Шази известна, пример Лагранжа он знал однако в работе [38] Шази изучал только лишь одностороннее поведение решений). [c.48] Не ясно, какой гладкостью мог бы обладать диффеоморфизм и I X его аналитичность а priori также не исключается. В одной из последующих частей будет показано, что эта гипотеза справедлива в несколько упрощенной ситуации, где соображения симметрии позволяют снизить размерность фазового пространства. [c.49] Это действительно удалось. Общая схема примененной в [15] конструкции остается той же, что на рис. 6, надо заменить только Н на НЕ и использовать в обоих случаях подходящие критерии гиперболо-эллиптического движения. Построение дуги АБ основано онять-таки на близком прохождении двух из трех тел вместо больших скоростей используется в качестве малого параметра масса тел сближающейся пары. [c.50] Гораздо более трудным оказался второй из поставленных выше вопросов. Множество ByjOS не образует области в и потому описать принадлежность к нему критериями, подобно тому, как это было сделано для Н и НЕ)., нельзя. Следовательно, нужно было искать какие-то новые методы, позволяющие проследить за поведением решения сразу па бесконечном интервале времени. [c.51] С целью обойти трудности, связанные с большой размерностью фазового пространства, А. Н. Колмогоров предложил в 1954 г. изучить один частный случай задачи трех тел, в котором соображения симметрии позволяют свести задачу к системе с двумя степенями свободы. Подробнее мы рассмотрим эту систему в одной из следующих частей, а сейчас ограничимся лишь упоминанием о результатах, которые удалось на этом пути получить. Во-первых, К.А.Ситников [29] в 1959 г. доказал для этого примера (а, следовательно, и для общей задачи трех тел) существование осциллирующих движений (0S). которые были введены Шази как чисто логическая возможность, которую приходится терпеть, коль скоро не удается ее отвергнуть. Строго говоря, рассуждения К. А. Ситникова относятся лишь к одностороннему поведению решений, но соображения симметрии позволяют показать существование решений типа 08 П 05+, что и отражено в табл. 2. А. Н. Колмогоров показал, что в основе рассуждений Ситникова лежит весьма простая геометрическая конструкция и высказал в связи с этим гипотезу о строении границы областей НЕ ,, упомянутую выше. Затем автору удалось показать, что в рассматриваемом примере применимы методы символической динамики это позволило доказать непустоту классов НЕ П В+, НЕ П 08+, В П 08 , 08 П В+. К сожалению, в все построенные примеры лежат на подмногообразии высокой коразмерности, что не позволяет судить о мере соответствующих подмножеств. Все же каждое из них содержит континуум (в смысле мощности) траекторий. [c.51] например, планета рх обращается вокруг звезды р2 по эллиптической орбите. Из бесконечности по орбите, близкой к гиперболической, прилетает космический корабль рз (движение класса НЕ ). Если движение всех трех тел достаточно близко к движению класса НЕ Г В+, то космический корабль будет оставаться в системе р2рз сколь угодно долго, после чего покинет ее и уйдет обратно в бесконечность. Пуанкаре в [8] предсказывал возможность таких движений аккуратное доказательство их существования, скажем, с заданным числом сближений космического корабля с планетой, было бы очень интересным. [c.52] Строение множества в В П В+ изучено плохо, хотя значительная доля публикаций по задаче трех тел относится именно к нему. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера позволила доказать существование условно-периодических движений во многих неиитегрируемых задачах механики. В частности, в 1963 году В. И. Арнольд [18] показал, что В П В+ (при достаточно малой массе двух из трех тел) содержит подмножество положительной меры, состоящее из пятимерных торов, заполненных условно-периодическими движениями (см. также [6], [19], [43]). Согласно [42], множества В+ В и В В+ имеют лебегову меру 0. [c.52] Условно-периодические движения образуют регулярную часть множества В П, но отнюдь его не исчерпывают. Во множестве В и 05 ) П (5+ и 05+) существует также и квазислучайная часть мы вернемся к ней далее. [c.53] Напомним, что остается открытой Проблема. Образует ли 08 множество положительной лебеговой меры в То же самое относится и к 08 ПНЕ , 08+ПНЕ, . [c.53] Вернуться к основной статье