ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Функции иа многообразии с особым краем из "Динамические системы - 8 " На множестве троек с фиксированной размерностью объемлющего пространства действует группа ростков диффеоморфизмов (С , 0). Она задает отношение эквивалентности. Ясно, что эквивалентные функции на многообразии с краем имеют эквивалентные особенности края. [c.21] Предположим, что край имеет изолированную простую осо-. бенность. Тогда классификация функций на многообразии с краем сводится к описанию орбит группы ростков диффеоморфизмов, сохраняющих фиксированную гиперповерхность Vi Алгебра Ли Яу- этой группы состоит из векторных полей и, касающихся края, то есть из тех, для которых vh nh. [c.21] Вложим F 0 в проективизацию кокасательного расслоения РТ С пространства С , поставив в соответствие каждой точке из У 0 касательную к V гиперплоскость, приложенную в этой точке. Пусть V zPT — замыкание образа вложения. [c.21] Назовем ОбС неособой точкой функции f, если многообразие f (0) неособо и его касательное пространство в нуле, рассмотренное как точка в РТ С , не принадлежит V. В противном случае назовем нуль критической точкой функции f на многообразии С с особым краем V. [c.21] Критические точки с модальностью не выше единицы появляются лишь на крае с простой особенностью типа Ак (класс функции А). На крае с простой особенностью типа Ок нлн Ек имеется только унимодальная неособая точка. [c.22] Здесь [X — кратность т — модальность критической точки —-невырожденная квадратичная форма от недостающих переменных 8 — параметр вдоль страта j.= onst. [c.22] Множество нерегулярных орбит группы hip) —острие степени pf2 в пространстве всех орбит. Многообразие нерегулярных орбит группы Яз изображено на рис. 5. Дискриминант Яз имеет два ребра возврата. Одно, степени 3/2, отвечает краевой особенности А2 в регулярной точке края. Другое, степени 5/2,—особенности /г(5) в начале координат. [c.23] Доказательство последней теоремы, приведенное в (72], использует ряд утверждений, имеющих самостоятельный интерес. Процитируем их. [c.23] Рассмотрим отображение Р (О, 0)- (П 0) базы усеченной версальной деформации (см. п. 1.2) функции f в пространство полиномов степени ц от одной переменной t с коэффициентами при и равными 1 и О соответственно. Это отображение переводит точку базы С в полином с корнями, равными ч— , где а — критические значения соответствующей функции из версального семейства, а — среднее арифме-тическое этих значений. . [c.23] Теорема ([72]). Голоморфное отображение Р для краевой критической точки модальности 1 всюду вне бифуркационной диаграммы функций S имеет ранг л—1. Ограничение отображения на гиперплоскость e= onst является собственным регулярным накрытием вне S. [c.23] Следствие ([72]). Бифуркационная диаграмма нулей Ис С +1 унимодальной критической точки на многообразии с особым краем аналитически тривиальна вдоль страта х= onst. [c.23] Замечание. Рассмотрим на многообразии с краем типа Лг версальную деформацию особенности, которая в нашей классификации обозначена Ль Кроме дискриминантных значений параметра, выделенных ранее, будем считать дискриминантной еще и плоскость Хб=0, отвечающую многообразиям нулей, проходящим через особую точку края. Получающийся в расширенный дискриминант биголоморфно эквивалентен множеству нерегулярных орбит группы Gz. [c.23] Вернуться к основной статье