ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Процедуры исключения быстрых переменных из "Динамические системы-3 " Метод Линдштедт а. Это — один из первых методов исключения быстрых фаз. Современную форму ему придал Пуанкаре в [34]. [c.189] Здесь 5.° — произвольные функции от /. Часто выбирают 5,°= 0. [c.190] В выражение для интегрирующего оператора (см. п. 1.2) входят знаменатели (А, и (1)) = (к, дНо1д ) с целочисленными векторами кФО. Поэтому функции 51 не определены, вообще говоря, на всюду плотном множестве точек I, где эти знаменатели обращаются в нуль или ненормально малы. [c.190] Как указал Пуанкаре, ряды Линдштедта в общем случае расходятся. [c.192] Здесь можио вычислить все приближения метода Лиидштед-та. Если ряды Линдштедта сходятся, то вдоль движения величина / испытывает лишь ограниченные колебания. [c.192] Приравнивая члены одинакового порядка по е, снова получаем систему соотношений (26), но только зависят от фаз и иначе вычисляются F . [c.193] Здесь 5(° — произвольные функции от I. Например, можно выбрать 5,°=0. [c.193] как и выше, оборвать ряд для 5 на членах порядка е и рассмотреть укороченную замену переменных, а в преобразованном гамильтониане отбросить члены порядка то получим гамильтониан т-го приближения. Он не зависит от фаз х соответственно, полученная приближенная система имеет п—г интегралов и сводится к системе с г степенями свободы. Как и в методе Линдштедта, здесь возникают малые знаменатели. Для того, чтобы в каждом приближении имелось лишь конечное число малых знаменателей, надо модифицировать описанную процедуру аналогично п. 2.2.А. [c.193] Пусть рассматривается система с собственным вырождением— невозмущенный гамильтониан не зависит от некоторых переменных действие . Тогда среди фаз есть медленные и быстрые, а описанная процедура позволяет формально исключить 113 гамильтониана быстрые фазы. Система первого приближения для новых переменных совпадает с усредненной по быстрым фазам системой. [c.193] В действительности, как выяснилось в работах А. Н. Колмогорова [14] и В. И. Арнольда [4], [5], процедура последовательных замен обладает замечательным свойством квадратичной сходимости после т замен невязка в гамильтониане, зависящая от фазы, пмеет порядок e (без учета малых знаменателей). Такая сверхсходимость парализует влияние малых знаменателем и делает всю процедуру с.чодящейся на некотором нерезонансном--) множестве. [c.194] Процедуру последовательных замен можно реализовать по-разному. Ниже описывается конструкция В. И. Арнольда, близкая к первоначальному методу Ньюкома. [c.195] В правой части последнего из этих равенств надо выразить. р через г 5, / по формулам замены переменных. [c.195] Новый гамильтониан выглядит так же, как и старый, но фазы входят в члены порядка е . Сделаем в полученной системе аналогичную замену переменных. После этого фазы сохранятся в членах порядка е (см. (30)). После т подобных замен переменных зависимость от фаз сохранится лишь в членах порядка е . Напомним, что после замены переменных т-го приближения метода Линдштедта зависимость от фаз остается в членах гамильтониана порядка е . [c.195] Оценка е указывает формальный порядок по е невязки в гамильтониане. Фактически из-за влияния малых знаменателей невязка может быть гораздо больше. [c.195] Вернуться к основной статье