ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение принципа усреднения из "Динамические системы-3 " Задачу о влиянии малых гамильтоновых возмущений на интегрируемую гамильтонову систему Пуанкаре назвал осно ной задачей динамики. Эта задача имеет много приложений, именно к ней относятся исторически первые формулировки принципа усреднения и первые результаты теории возмущений. Формальная сторона теории здесь в принципе такая же, как для общих негамильтоновых возмущений. Одиако характер эволюции под влиянием гамильтоновых возмущений совсем иной. Соответственно, для обоснования рецептов теории возмущений используются существенно другие методы, чем в негамильтоновом случае. [c.181] Ч В классе степенных оценок. [c.181] Возмущающий гамильтониан имеет по ф период 2л. [c.182] Эта форма уравнений — стандартная для применения принципа усреднения. Если не оговорено противное, функции Яо, Н будем считать аналитическими. [c.182] Предположим, что все частоты дНо/д/, не обращаются тождественно в О и что между ними отсутствуют тождественные целочисленные соотношения. Для приближенного описания изменения переменных / в соответствии с принципом п. 1.1 усредним уравнения (23) по фазам ф. [c.182] Теорема 10. В гамильтоновой системе с п степенями свободы и п частотами эволюции медленных переменных не происходит в том смысле, что усредненная система имеет вид / = 0. [c.182] Пример 11. Рассмотрим вращение тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Расстояние от точки подвеса до центра масс тела обозначим е и будем считать малой величиной. При е = 0 получаем задачу Эйлера—Пуансо (гл. 4). Переменные действие — угол /ь /г, в, фи фг, А для этой задачи описаны в [12] (см. также гл. 3, п. 2.3). Напомним, что /г — модуль вектора кинетического момента тела, а 0 — его вертикальная проекция, О — угол поворота вектора кинетического момента вокруг вертикали, переменные и ф1. фг при заданном /г определяют положение тела в системе осей, жестко связанной с вектором кинетического момента и вертикалью (рис. 20). [c.183] Фазы ф,, / г являются медленными переменными. Согласно принципу усреднения, для приближенного описания эволюции надо усреднить уравнения возмущенного движения по быстрым фазам ф(, 1 г. Аналогично предыдущему доказывается следующее утверждение. [c.184] Теорема 11. В гамильтоновой системе с п степенями свободы и г п частотами переменные, сопряженные быстрым фазам, являются интегралами усредненной системы. [c.184] В соответствии с этой теоремой для медленных фаз и сопряженных Им переменных при усреднении получается приведенная гамильтонова система с п—г степенями свободы. Если число быстрых фаз лишь на единицу меньше числа степеней свободы (однократное вырождение), то приведенная система имеет одну степень свободы. Следовательно, при однократном вырождении принцип усреднения позволяет приближенно проинтегрировать задачу (как и в невырожденном случае). [c.184] При малых наклонениях движение качественно такое же, как в плоской задаче . [c.185] При исследовании хилловского случая было обнаружено следующее новое явление у орбит с большими наклонениями возникают значительные колебания эксцентриситета. В частности, у первоначально почти круговых орбит с наклонением 90° эксцентриситет возрастает до единицы, что приводит к. превращению орбиты в отрезок и столкновению с Солнцем. Быть может, это объясняет, почему Солнечная система почти плоская и почему отсутствуют спутники с большими наклонениями к плоскости Солнечной системы у сферически симметричных планет. [c.185] Точно так же эволюционирует орбита далекого спутника осесимметричной планеты (ам., например, [50]). [c.185] При нулевых эксцентриситетах н наклонениях =г)=р= =0. Переменная / — средняя долгота планеты. [c.185] Вопросы о соответствии решений точной и усредненной систем во всех приведенных примерах носят общий характер и решаются в рамках теории KAM, см. 3. [c.187] В случаях, когда частоты невозмущенного движения близки к целочисленной соизмеримости, для приближенного описания эволюции используется частичное усреднение с учетом резонансов (п. 1.1). Для рассматриваемых гамильтоновых систем оно. очевидно, сводится к отбрасыванию в разложении Фурье возмущенного гамильтониана всех гармоник, фазы которых при рассматриваемых соизмеримостях изменяются быстро. Э га процедура также приводит к появлению интегралов усредненной системы. [c.187] Теорема 12. Частично усредненная с учетом г независимых резонансов гамильтонова система имеет п—г интегралов в инволюции, являющихся целочисленными линейными комбинациями первоначальных медленных переменных Ij. [c.187] Если имеется всего один резонанс, то частично усредненная с его учетом система имеет п—1 интегралов в инволюции (отличных от интеграла энергии) и, следовательно, интегрируема. [c.187] Пусть р1 = р (р2, р ) — простое резонансное значение ри т. е. [c.188] Явную зависимость а, V от параметров рг. Рп указывать не будем. Если отбросить в (24) добавок 0(е), то получим гамильтониан задачи о движении маятника в потенциальном поле, фазовый портрет которой показан на рис. 41. На фазовом портрете имеются области колебательных и вращательных движений маятника, разделенные сепаратрисами. Характерный размер колебательной области по переменой pi и характерная амплитуда колебаний pi — порядка Уе, характерный период колебаний — порядка 1/Уе. Положения равновесия на рис. 41 называются стационарными резонансными режимами. При учете переменных 72. q нм соответствуют условно-пе-риодические движения (если число степеней свободы п = 2 — периодические движения). [c.188] Вернуться к основной статье