ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод разделения переменных из "Динамические системы-3 " Теорема 12. Если найден полный интеграл 5(х, q) уравнения (16), то канонические уравнения р=—Нд, q=H/ интегрируются в квадратурах. При этом п функций xi p, q). .., х (р, q), определяемых из уравнений p=dS x, q)/dq, образуют полный набор независимых интегралов в инволюции. [c.139] Определение. Если уравнение (16) имеет полный интеграл вида S(x, q) =2S (9, xi. Jf ). то переменные qi. [c.139] Предложение 5 описывает наиболее простые и часто встречающиеся виды разделения переменных. При решении задачи Горячева—Чаплыгина (п. 2.3) мы уже фактически использовали разделение симплектических координат вида 1. Отметим, что случаи 1 и Г предложения 5 могут встречаться в сочетании друг с другом, кроме того, возможны более сложные виды разделения переменных. [c.140] Для отыскания разделенных переменных нет, конечно, никакого общего правила. Поэтому мы должны идти обратным путем и, найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом при-менена . Мы укажем здесь одну такую замечательную подстановку , связанную с эллиптическими координатами в Я . [c.140] Лекции по динамике . [c.140] Из этой системы уравнений найдем fo, ь . п-2 как функции %, ц они дадут нам полный набор независимых интегралов в инволюции. [c.142] В итоге переменные Я-ь щ и Лг, цг разделяются и, согласно предложению 5, задача двух неподвижных центров интегрируема. Лагранж показал, что интегрируемость сохранится, если иа точку будет дополнительно действовать упругая сила, направленная на середину отрезка, соединяющего притягивающие центры. Качественное исследование задачи двух центров можно найти в книге Шарлье [24]. [c.143] Вернуться к основной статье