ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры вполне интегрируемых систем из "Динамические системы-3 " Один интеграл этих уравнений на Мс всегда существует это интеграл энергии. Таким образом, для полной интегрируемости достаточно иметь еще один независимый интеграл. Перечислим известные случаи интегрируемости. [c.134] Отметим, что все перечисленные интегрируемые случаи образуют в шестимерном пространстае параметров А и г,- многообразия одной и той же коразмерности, равной трем. [c.134] Выпишем замкнутую систему уравнений для изменения рх, рч. [c.135] Этот замечательный факт имеет место и для уравнений задачи Ковалевской (см. [12]). [c.136] Тогда существует гладкая (аналитическая) за.мена переменных приводящая систему (9) к виду (10). [c.136] Предложение 4. Еслк f—гладкая функция, то для почти всех наборов чисел ь , уравнение (И) имеет гладкое решение. [c.137] В частности, уравнения (8) всегда приводятся к виду (10), который должен существовать согласно теореме 3. [c.137] P -ZTsXs, Ру = ЪТ,у М = 2Г.(х5 + //)/2 здесь Г, —интенсивность s-ro вихря. Легко сосчитать их скобки Пуассона Р. Я, =—2Г Рх, М)=—Ру, Ру, М =Рх. Следовательно, задача п вихрей вполне интегрируема при п З. Случай тривиален, при п = 2 независимыми коммутирующими интегралами являются, например, функции Н к М, при п=3 —функции Н, М и Рх +Ру - В задаче четырех вихрей независимых интегралов равно столько, сколько степеней свободы, однако они не все коммутируют. Можно, однако, показать, что если сумма интенсивностей вихрей равна нулю, то решения уравнений движения с нулевыми постоянными интегралов Я, и Я, можно найти в квадратурах. [c.138] Вернуться к основной статье