ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понижение порядка (гамильтонов аспект) из "Динамические системы-3 " Предложение 2. Если с1Р(2)Ф0, то в некоторой окрестности точки г М существуют симплектические координаты Хи. х , уи-.-, Уп такие, что Р х, у) =ух. [c.104] Ме совпадает с А, В. Положим, наконец, Л, В = Л, Ъ). [c.106] Определение. Гамильтонова система (7Й ., ш, Н) называется приведенной. [c.106] Если элемент S находится в общем положении (ранг матрицы а максимален ), то группа G коммутативна понижение порядка, проведенное по этой схеме, дает тот же результат, что и понижение по Картану (Е. artan). Если с=0,то ранг матрицы Ца,Л падает до нуля и интегральное многообразие Мо устроено наиболее симметрично стационарная подгруппа Go совпадает со всей группой G. В этом случае происходит максимально возможное понижение порядка гамильтоновой системы на 2/5 = 2dimG единиц (ср. с теоремой 13). [c.108] Пусть (Л , , , V) — натуральная механическая система и пусть G — компактная коммутативная группа симметрий (изоморфная Р), свободно действующая на пространстве положений N. Мы можем рассматривать эту систему как гамильтонову систему с симметриями на M = T N и применить известную нам схему понижения порядка. Группа G осуществляет пуассоновское действие на T N поскольку это действие свободное, то любое значение момента является некритическим. Стало быть, определено гладкое интегральное многообразие уровня Мс (коразмерности k = a mG в М) и приведенное пространство состояний Мс (размерность которого на 2k меньше размерности AI). С другой стороны, можно определить гладкое приведенное пространство - положений N, профакторизовав N по орбитам действия G. Более того, при том же самом значении с6 мы имеем полунатуральную приведенную лагранжеву систему (Л , , , К, Qe) (см. п. 1.1, теорема 18). Приведенным лагранжианом L TN- R естественно назвать функцию, определенную равенством L(x)= x, x l2+V (x). [c.108] Если группа О некоммутативна, то приведенное фазовое пространство Мс в общем случае не совпадает с кокасательным расслоением никакого гладкого многообразия. [c.109] Предложение 3. Ограничение скобки , на Л с зада- т симплектическую структуру , причем многообразия (Мс, ) ) и (N , о ) симплектически диффеоморфны. [c.109] Это замечание можно обобщить на случай некоммутативной группы О, только факторизацию М по всей группе О надо заменить факторизацией по ее центру. [c.109] Вернуться к основной статье