ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Касание поверхностей вдоль линии из "Начертательная геометрия " Две поверхности, имеющие в их общей точке общую касательную плоскость, называю1 ся соприкасаю щимися в этой точке. Таким образом, построение двух соприкасающихся в данной точке А поверхностей Ф, Д сводится к построению касательной плоскости Т. [c.135] Рассмотрим примеры графического построения касательных плоскостей. [c.136] Пример 1. Построить плоскость Т, касающуюся сферы Ф(0, Я) в точке А е Ф (рис. 4.46). [c.136] Пример 2. Построить плоскость Т, касающуюся поверхности конуса вращения Ф и проходящую через данную точку М Ф (рис. 4.47). [c.136] ТБМ п 5 1), Т(5М п ЗВ), касающиеся поверхности конуса вдоль ее образующих ЗА и ЗВ. [c.137] Двойная точка кривой линии называется изолированной (см. п. 2.5.1), если через нее проходят две мнимые негеи. Координаты этой точки удовлетворяют уравнению кривой, хотя точка визуально может и не принадлежать действительной ветви этой кривой. [c.137] Поверхности, состоящие только из параболических точек, называются Пойерхнйстями нулевой кривизны. К таким поверхностям относятся цилиндрические, конические и торсовые. [c.137] Поверхности, состоящие только из эллиптических точек, являются выпуклыми и называются поверхностями положительной кривизны (например, сфера, эллипсоид, параболоид и Т.Д.). [c.137] Поверхности, содержащие все виды точек, называются поверхностями двоякой кривизны (например, поверхность тора). [c.137] В заключение приведем теорему о соприкасающихся поверхностях второго порядка и примеры решения задач на построение соприкасающихся поверхностей. [c.137] Теорема о двух точках соприкосновения если две поверхности второго порядка имеют две точки соприкосновения, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, пересекающиеся в указанных точках. [c.137] Как было отмечено, две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка. Точки соприкосновения поверхностей для этой кривой должны быть двойными. Но пространственная кривая четвертого порядка не может иметь более одной двойной точки. HaJ ичи двух двойных точек, которые могут быть действительными различными, совпавшими или мнимыми, является признаком распадения этой кривой на две кривые второго порядка. [c.137] ДМ = 8М, проецируется в натуральную величину на П2. [c.138] Пример 2. Построить круговые сечения эллиптического конуса Ф (рис. 4.50). [c.138] Для решения задачи воспользуемся теоремой о двух точках соприкосновения. Построим вспомогательную сферу Д(0, / ), имеющую с поверхностью эллиптического конуса две точки соприкосновения А(А2, 3), В(В2, В3) (эти поверхности в точках А, В имеют соответственно общие касательные плоскости Г, Г ). В соответствии с теоремой о двух точках соприкосновения линия пересечения поверхностей Ф, Д распадается на две кривые второго порядка, которые будут окружностями, так как они принадлежат сфере. [c.139] Поверхности Ф, Д имеют общую профильную плоскость симметрии 2. Поэтому их распавшаяся линия пересечения будет проецироваться на профильную плоскость проекций П3 в распавшуюся кривую второго порядка 03 п 3 (см. п. 4.9), проходящую через точки /3, 23, 3 , 4 пересечения их очерковых линий и профильные проекции 3 точек соприкосновения. Сечения эллиптического конуса профильно проецирующими плоскостями, параллельными плоскостям окружностей а, Ь, являются его круговыми сечениями. [c.139] Конструирование поверхностей, касающихся вдоль заданной линии, является распространенной инженерной задачей при создании математических моделей сложных технических поверхностей в процессе их автоматизированного проектирования и воспроизведения на оборудовании с числовым программным управлением. [c.139] В геометрической интерпретации методика конструирования поверхностей, касающихся вдоль некоторой линии, сводится к поиску таких поверхностей, линия пересечения которых распадается на несколько конгруэнтных (равных) составляющих. При совпадении двух или более составляющих эти поверхности вдоль совпавших линий будут иметь определенный порядок соприкосновения. [c.139] Необходимое и достаточное условие касания двух поверхностей второго гюрядка вдоль кривой второго порядка формулируется теоремой о трех точках соприкосновения если две поверхности второго порядка имеют три точки соприкосновения, то они касаются по кривой второго порядка, проходящей через эти точки. [c.140] Следствие очерковой линией поверхности второго порядка является кривая второго порядка. [c.140] Вернуться к основной статье