ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Глобальные канонические отображения из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " В этом приложении мы излагаем топологические причины существования периодических траекторий в гамильтоновых системах с п степенями свободы. [c.239] Пусть теперь А — глобально канонический диффеоморфизм, Т — тор р = О, АТ — образ тора Т относительно диффеоморфизма А. [c.240] Кроме того, число геометрически различных точек пересечения по крайней мере равно гг + 1. [c.240] Замечание ПЗЗ.13. В случае п = 1 (отображения кольца) лемма (П33.8) остается в силе без условия (П33.9). Доказательство, использующее теорему Жордана, не распространяется на случай п 1. Неизвестно, пересекаются ли торы Т и АТ при /г 1, когда условие (П33.9) не выполняется. [c.242] Если в лемме (П33.8) ослабить условия (П33.9), то получается большое число теорем о возвращении следующего типа. [c.242] Предположим, что начальные значения аг,Ъ осей кеплеровских эллипсов в плоской задаче п тел таковы, что эти эллипсы не пересекаются. Тогда при любом т существуют начальные фазъс h )gг такие, что по прошествии времени т оси эллипсов в точности вернутся к своим начальным значениям. [c.242] Замечание ПЗЗ.14. Для леммы (П33.8) (без условия (П33.9)) существенно, чтобы отображение А было диффеоморфизмом, так как даже в случае п = 1 можно построить глобально каноническое отображение так, что Т и АТ не будут пересекаться. [c.242] Так как отображение В глобально каноническое, оно задается производящей функцией вида Рд + В Р, д). По лемме П33.4 функция В х) = В Р х), д х)) однозначна в О. [c.243] Рассмотрим теперь ограничение функции В х) на тор Т. Как дифференцируемая функция на п-мерном торе, она имеет по крайней мере 2 критических точек (см. лемму П33.8). Докажем, что эти критические точки принадлежат пересечению торов Т и В Т. [c.243] Вернуться к основной статье