ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Производящие функции канонических отображений из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " Результаты, изложенные в этом приложении, принадлежат Гамильтону и Якоби. [c.232] ДЛЯ любой замкнутой кривой 7. [c.232] Предположим, что в окрестности точки х величины и Pi,. .., Рп образуют систему локальных координат, т. е. [c.233] Определение П32.5. Функция А(Р, д) называется производящей функцией канонического преобразования А. [c.233] К сожалению, производящая функция А обладает тем неприятным свойством, что не является геометрическим объектом действительно, она зависит не только от отображения Л, но и от координат р, д в пространстве Е . [c.234] Из уравнений (П32.6) мы заключаем, что производящая функция тождественного отображения равна Рд, Следовательно, каждое каноническое отображение, близкое к тождественному, обладает производящей функцией, близкой к Рд. [c.234] Рассмотрим канонические отображения 5 , производящие функции которых Рд б8 р, д] г) зависят дифференцируемым образом от параметра е С 1. [c.234] Если параметр е мал, то отображение 8 близко к тождественному. [c.234] Инфинитезимальное каноническое отображение 5 , по определению, есть класс эквивалентности семейств 5 два семейства 5 , 5 принадлежат одному и тому же классу, если = 0 ). [c.234] Определение П32.9. Функция точки фазового пространства 3 р, д) называется производящей функцией инфинитезимального отображения Зе или функции Гамильтонй). [c.234] В силу соотношения (П 32.2) интеграл не зависит от выбора канонических координат, а в силу соотношения (П32.1) не зависит и от выбора кривой 7, а зависит только от х и у. [c.235] Инвариантность производящей функции 8 можно выразить в иной форме. Пусть А — конечное каноническое отображение, 8е — инфинитезимальное каноническое отображение. Ясно, что каноническое отображение = А8 А также инфинитезимально. [c.235] Действительно, из (П32.8) следует, что производящая функция произведения двух инфинитезимальных отображений есть сумма их производящих функций и что производящая функция обратного отображения С есть функция —С, Используя эти замечания и лемму (П32.16), получаем (П32.22). [c.236] Коммутаторы Ли и скобки Пуассона. [c.237] Вернуться к основной статье