ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Спектры i-систем из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " Пусть (М, /i, р1) — классическая система, — унитарная группа, порожденная диффеоморфизмом Рассмотрим дискретную компоненту спектра это — дискретный спектр. [c.145] Во всех известных примерах классических эргодических систем ранг дискретного спектра меньше или равен размерности пространства М. Естественно предположить, что этот ранг всегда конечен. Вот результат, полученный в этом смысле. [c.145] Собственные функции классической системы могут быть всюду разрывны (см. пример А. И. Колмогорова [1]), но если они непрерывны, то ранг дискретного спектра меньше или равен первому числу Бетти Ьх = (11т7 1(М, пространства М. Более точно, справедлива следующая теорема. [c.145] что эта теорема является следствием следующей. [c.145] Прежде чем доказывать эту теорему, введем понятие чисел вращения. [c.145] Пусть (М, //, Lpt) — предыдущая система. Так как М — компактное дифференцируемое многообразие, любой паре точек а, из М можно поставить в соответствие дифференцируемую дугу аЬ, длина которой ограничена некоторым числом А, не зависящим от а и Ь. [c.146] уьг — образующие группы целочисленных гомологий R). Каждый элемент jk — это замкнутая кривая на М, которую можно предполагать дифференцируемой. [c.146] что не зависит от базиса (7 ). [c.147] Доказательство теоремы П16.2 . [c.148] Заметим, что, по построению, ранг группы чисел вращений меньше или равен 6i, равенство достигается только в том случае, если числа вращений линейно независимы над Z. Поэтому достаточно доказать следующую лемму. [c.148] Лемма П16.8. Подгруппа дискретного спектра, образованная собственными числами непрерывных собственных функций, есть подгруппа группы чисел вращений. [c.148] Следствие П16.10 (Арнольд [2], [3]). Пусть V — компактное риманово многообразие размерности п 2, не являющееся тором. Если геодезический поток на унитарном касательном расслоении М = Т У эргодичен, то непрерывные собственные функции — константы. [c.149] По лемме П16.8 достаточно доказать, что числа вращений равны нулю. Можно показать (Оу81п [1]), что при сделанных топологических предположениях каждая замкнутая не гомологичная нулю 1-форма со из ТхУ является поднятием замкнутой формы, не гомологичной нулю, из V, также обозначенному через со. [c.149] Пусть (Я1г) 1 — семейство подалгебр алгебры 1. Обозначим через наибольшую из подалгебр алгебры 1, содержащуюся в каждой 21. [c.151] Пусть 21 — подалгебра алгебры 1. Обозначим через 2(21) подпространство пространства Ь2 М, /х), порожденного характеристическими функциями Ха элементов А Е 21. [c.152] Докажем следующую теорему (см. теорему 11.5). [c.152] Доказательство теоремы сводится к доказательству следующих лемм. [c.152] Лемма П17.9. На 2 = 2( / )0 о оператор II имеет лебеговский спектр с кратностью, равной (Ит Н IIН). [c.153] Выберем в Н Э 11Н полный ортонормированный базис hi . Пусть Жi — замыкание подпространства, порожденного ... . [c.154] Вернуться к основной статье