ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Структурная устойчивость У-систем из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " Докажем теперь, что У-системы структурно устойчивы. [c.68] Определение 16.1. Структурная устойчивость. [c.68] А) Структурная устойчивость диффеоморфизма. [c.68] Говорят, что поток ipt структурно устойчив если для любой окрестности V(Мм) (в (7 -топологии) тождественного отбражения Ым существует окрестность Х) (в С -топологии) поля X такая, что каким бы ни было поле Е ТУ(Х) (7 -дифференцируемых векторов, существует гомеоморфизм из У (Мм), который отображает любую орбиту поля X в какую-то орбиту поля У. [c.69] Далее мы будем предполагать, что г 2. [c.69] Орбиты имеют вид спиралей, а особая точка (0,0) — фокус (см. рис.М6.3). Но п теореме анкаре о собственных значениях , К — непрерывный инвариант диффеоморфизмов. Следовательно, фокус (0,0) не мог бы быть структурно устойчивым. [c.69] Немедленно возникают две проблемы. [c.69] С более сложной ситуацией мы сталкиваемся в случаях, когда размерность больше двух. Например, система из примера 13.1 структурно устойчива, хотя и очень сложна (эргодична, со всюду плотными циклами и т. д. ). [c.70] С другой стороны, С.Смейл (8.8та1е [2]) привел пример, который показывает, что структурно устойчивые системы не образуют всюду плотное множество в пространстве классических динамических систем (см. приложение 24). Таким образом, структурно устойчивые системы не являются общим случаем. [c.70] Теорема Аносова 16.5. Любая У-система (М, (р) структурно устойчива. [c.70] Приведем идею доказательства (см. приложение 25). [c.70] Единственность нашего гомеоморфизма к если он существует, будет доказана, если каждой точке та М поставить в соответствие единственную точку ш Е М, удовлетворяющую соотношению (16.6) при всех п. Следовательно, необходимо доказать, что такая точка т существует. Для того, чтобы найти ш, воспользуемся следующей конструкцией. [c.71] что образы (р 13 п 0) каждого растягивающегося слоя /3 Е близкого к ш, имеют точки, близкие к (р т (более точный смысл этого утверждения см. в лемме А, приложение 25). Можно доказать (см. лемму В, приложение 25), что среди этих слоев существует единственный слой /3(ш) такой, что его образы (р /3 т) п 0) также близки к (р т). [c.72] Точно так же доказывается, что существует, притом только один, сжимающийся слой 6 т) Е такой, что его образы (р 6 т) остаются близкими к (р т) при всех п Ъ. Так как слоения Ж и транс-версальны, то 3 т) и 8 т) пересекаются в единственной точке т из окрестности т. Без труда можно доказать, что (р т ) = (сртУ и что отображение к т т — малый гомеморфизм, если (р — диффеоморфизм, С -близкий к (р. [c.72] Теорема Аносова распространяется на У-потоки. [c.72] Вернуться к основной статье