ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эргодичность из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " Замечание 6.5. Временное среднее может не существовать или не быть равным пространственному среднему f x) на множестве, всюду плотном в М, даже если / — аналитическая функция и (М, л ipt) — классическая система (см. примеры 1.2 и 1.15, а также приложение 8). [c.23] Замечание 6.6. При сдвигах на торе (гл. 1, примеры 1.2 и 1.15) существует всюду, если функция / непрерывна или интегрируема в смысле Римана (см. приложение 9). [c.23] Таким образом, для эргодической системы временное среднее не зависит от начальной точки ж. [c.23] Замечание 7.5. Верно и обратное утверждение если система (М,/х, ) не эргодична, то она разложима. [c.24] Действительно, если система не эргодична, то существует функция /, временное среднее f x) которой зависит от ж и отлично от константы почти всюду. [c.24] Следствие 7.6. Абстрактная динамическая система эргодична в том и только том случае если она неразложима т. е. если все инвариантные измеримые множества имеют меру О или 1. [c.24] Приведенное выше рассуждение доказывает также, что система эргодична в том и только том случае, если любая инвариантная функция / Е Ь1 М, 1) постоянна п. в. [c.25] Пример 7.8. Вращение ср х — х а (mod 1) окружности М = = -X (mod 1) эргодично в том и только том случае, если число а иррационально. [c.25] Пусть сначала число а рационально. Положим а = p/q q q положительно и взаимно просто ср. Поскольку функция f x) = инвариантна, отлична от константы и измерима, то система (М, //, ср) не эргодична. [c.25] Поскольку е произвольно, //(Л) = 1 и система эргодична. С помощью подобных рассуждений доказывается, что системы из примеров (1.2) и (1.15) эргодичны вследствие того, что их траектории всюду плотны (см. приложение 11). [c.26] Вернуться к основной статье