ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сходимость рядов в задаче двух тел из "Небесная механика " Вопрос о сходимости рядов и астрономии имеет большое значение не только с чнсто математической точки зрения, но прежде всего в силу важных практических выводов, которые можно сделать только на основе тщательных исследований сходимости используемых рядов. При этом необходимо иметь в виду 1) в какой области используемых переменных эти ряды сходятся и 2) насколько будет велика ошибка, если разложения оборвать на определенном члене. Наконец. 3) при определенных условиях можно сделать выводы из исследований сходимости о поисках тех методов разложения, которые давалп бы при числовых расчетах наибольшую выгоду. [c.464] Исследования первой группы вопросов, которые в свою очередь являются основными для других вопросов, были продвинуты в большей мере, хотя и здесь ряд проблем ждет своего разрешения. В результате этих исследований еще не удалось получить выражения для координат в задаче трех тел, которые были бы справедливы на неограниченном промежутке времени, илп по крайней мере установить существование такого рода выражений. Все еще остается открытым чрезвычайно важный вопрос о верхней границе значений координат в задаче трех тел, хотя едва ли нужно считать слишком нереальным предсказание, что его решение не придется ожидать много десятилетий. [c.464] С другой стороны, функции eos il и sin il суть, очевидно, голоморфные функции t, и каждый член в приведенном ряде можно, следовательно, при произвольных конечных значениях е, и tg разложить по положительным степеням е — вдИ t — tg при сколь угодно больших значениях е — вд и t — tg. [c.465] Однако отсюда не следует, что ряд (1), а значит, и координаты, можно разложить в ряды по степеням е — вд п t — tg, которые сходятся при сколь угодно больших значениях е — вд vi t — tg. Для подобного вывода необходимо, чтобы ряды (1) удовлетворяли определенным условиям, полученным Венерштрассом, которые здесь оказываются невыполненными. [c.465] Между тем во многих случаях необходимо применять разложения координат по степеням эксцентриситета или времени, и в связи с этим возникает задача об определении области сходимости этпх разложений. [c.465] Разложения координат по степеням эксцентриситета, которые мы хотим исследовать в этом параграфе, впервые были исследованы Лапласом в приложении к пятому тому его Me anique eleste [57]. Его метод в принципе простой и прямой, однако требует при своем применении весьма долгих и сложных рассуждений. Позднее Коши и Руше рассматривали вопрос, опираясь на развитый Коши метод аналогичный подход в последнее время принимается в большинстве работ по этой проблеме. [c.465] Эти исследования относятся к разложению координат по степеням е, т. е. к разложению этих функций в окрестности точки е = 0. Отсюда непосредственно нельзя определить область сходимости разложения этих функций в окрестности произвольной точки е = вд. Этот вопрос был исследован автором, и мы повторим здесь основные этапы этих рассуждений [57]. [c.465] Здесь ги означает эксцентрическую аномалию планеты. Координаты являются голоморфными функциями эксцентрической аномалии. [c.466] Речь идет об определении особых точек функции ф. Если поло жения этих особых точек определены, то, как известно, разложение будет сходиться в окрестности точки = о внутри круга, центр которого лежит в о и граница которого проходит через ближайшую особую точку. [c.466] Значения х и у, которые удовлетворяют этим уравнениям, легко можно получить графическим путем. Будем рассматривать эти уравнения как уравнения двух кривых, которые обозначим соответственно через (А) и (В). Точки пересечения этих кривых дадут искомые значения х и у. [c.467] Кривая (В) состоит из бесконечного множества ветвей, которые можно получить, если произвольную ветвь переносить параллельно вдоль оси X на расстояние 2кл (к = О, 1, +2,. . . ). Здесь достаточно исследовать только одну ветвь, и так как обе кривые симметричны относительно оси х, то достаточно принять во внимание только положительные значения у. [c.467] Так как мы предполагали здесь С i o кривая (В) никогда не пересечет оси х. Если ж=+у, то у = оо. Следовательно, рассмотренная здесь ветвь кривой асимптотически приближается к двум прямым, определяемым уравнениями ж = - . [c.468] При I = 7г. i = - кривые имеют вид, указанный на рис. 39. [c.468] Если зксцентриситет имеет комплексное значение, то вычисление соответствующих значений то несколько более трудно. [c.469] Следовательно, эти особые точки составляют бесчисленное множество изолированных точек, лежащих на прямой р os 6=1. [c.472] Это уравнение имеет два корня ) s=0 и s = 1,195 (приближенное значение). Первый корень дает двойную точку, а второй — искомый максимум. Вид кривой (19) приводится на рис. 40. [c.473] Для нашей цели нет необходимости знать форму кривой (17) и (20). Действительно, форма этой кривой зависит от значений параметра Z и в то время как Z изменяется, точка пересечения (16) и (17), а также и особая точка уравнения Кеплера, смещаются на кривой (16). Однако для сходимости рядов, расположенных по степеням эксцентриситета, в астрономии необходимо, чтобы эксцентриситет принимал такое значение, что ряды оставались бы сходящимися при всех действительных значениях /. Таким образом, исследуемый радиус сходимости является наименьшим радиусом, который получается, если I изменяется от —оо до +оо. Но тогда можно доказать, что действительные значения I всегда можно выбрать так, что кривая (17) пройдет через произвольную точку кривой (16). Следовательно, достаточно рассмотреть эти кривые, так как каждая их точка может быть особой и, значит, должна рассматриваться как особая точка. Докажем, что величину I можно выбрать указанным образом. [c.473] ЭТОГО можно всегда достигнуть подходящим выбором I. [c.474] Вернуться к основной статье