ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Пуанкаре построения периодических решений из "Небесная механика " Это и составляет знаменитую теорему существования Коши. Эта теорема получила существенное развитие в работе Пуанкаре, благодаря чему он смог сделать в небесной механике далеко идущие выводы. Теорему Пуанкаре мы разделим на три части. [c.404] Мы не будем предполагать, что функция ф внутри области (4) может быть разложена по степеням I. Мы рассматриваем ф как аналитическую функцию г в области (4), которая может быть разложена по степеням I — а в каждой точке а (О а ] 7 , но это не означает, что радиус сходимости столь велик, что разложение по степеням I сходится во всей области (4). [c.405] Неравенство (8 ) должно быть выполнено, если выполняется (8). [c.406] ЧТО нри малых положительных значениях t должно иметь место-неравенство ж1 ж . Повторяя приводившиеся выше рассуждения, приходим к выводу, что это неравенство должно выполняться для всех значений I между О и Г. [c.409] Теперь задача сводится к построению такой вспомогательной функции. [c.409] Если разложение ф (ж, 1, (1) по степеням ж и (I справедливо также для х = а и ц = р (что всегда можно предполагать,. [c.409] Функция в правой части (14) удовлетворяет условиям, которые были наложены на вспомогательную функцию ф. Однако Пуанкаре предпочитает строить другую вспомогательную функцию, так как вспомогательная функция (14) приводит к сложной квадратуре. [c.410] Выбирая перед квадратным корнем знак минус, получим именно тот интеграл, который нри ц = О обращается в нуль. Тот интеграл, которому соответствует перед квадратным корнем знак плюс, наоборот, при ц, = О обращается в бесконечность. [c.411] Если t имеет конечное, но произвольно большое значение, то всегда можно выбрать столь малым, чтобы неравенство (19 ) было выполнено. Следует, однако, заметить, что при возрастании t до бесконечности радиус сходимости по р, стремится к нулю. Таким образом, положить t — оо невозможно. [c.412] результат, к которому мы пришли, сводится к следующему. [c.412] в частности, разложение ф (ж, I, ц) по степеням жир, будет сходиться для всех действительных значений 1, то ряд (21) сходится для любых сколь угодно больших значений если только выбрано достаточно малым. Чем меньше выбрано и, тем в общем больше область для I, в которой (21) сходится. Но мы не можем заключить, что ряд (21) сходится также и для = оо. Сходимость, по терминологии Вейерштрасса, будет условной, если радиус сходимости по р зависит от I (или, точнее, от Т). [c.413] Если функцию г]) можно разложить по степеням то можно использовать ранее доказанную теорему и х также можно разложить в ряд по степеням ц, при условии, что при ж = Р функция р не обращается в бесконечность и вообще не имеет какой-либо особой точки. [c.413] Таково содержание обобщенной Пуанкаре теоремы существования Коши. [c.414] Если здесь рассматривать р как параметр п если о ) можно разложить по степеням р, то согласно с изложенным интеграл , а значит, также и ж, разлагается в ряд по степеням р. Следовательно, при сделанных предположениях интеграл ж можно разложить в ряд по степеням как (i, так и постоянной интегрирования р. [c.414] На этой теореме Пуанкаре основывал своп исследования о периодических решениях в задаче трех тел, которые мы рассмотрим в следующих параграфах. [c.415] Разложение (4) сходится при сколь угодно больших значениях t, если (I взято достаточно малым. Если решения (4) суть периодические функции времени, то эти ряды должны оставаться сходящимися для всех значении t (следовательно, и для t = оо). При этом достаточно отыскать решение, которое сходится от i = О до I = f. Задача сводится к тому, чтобы отыскать те условия, при которых движение, определяемое прн помощи (1), будет пepиoдиqe ким. Пуанкаре формулирует эту проблему следующим образом. [c.416] В простейшем случае, который может встретиться, координаты X при t = Т Ht = О принимают одни и те же значения. Тогда согласно (1) для обоих моментов времени производные от координат также принимают те же самые значения, п движение обязательно должно быть периодическим. [c.416] Но это отнюдь не необходимое условие для существования периодических решений. Как здесь будет предполагаться, речь идет о движении точечных масс тогда периодические решения существуют всякий раз, когда конфигурации масс и их мгновенные скорости одни и те же прп = Оипри = Г. [c.416] Правая часть (И) может быть разложена по степеням г])1,. .. [c.418] Одна из величин в этом случае может быть выбрана произвольно, или можно к (12) присовокупить уравнение Р = С, где С может быть выбрано произвольно. [c.419] Вернуться к основной статье