ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Периодические решения в окрестности масс из "Небесная механика " Если астероид Р находится в одной из масс или т , то Р1 или Рз будет равно нулю и, следовательно, 2 становится бесконечно большим. Значит, потенциал 2 в окрестности точек и ТП2 нельзя разложить в ряды по возрастающим степеням координат. Поэтому исследование периодических орбит в окрестности притягивающих масс связано с большими трудностями, чем исследование орбит в окрестности точек либрации. Рассматриваемую здесь проблему также нельзя считать полностью решенной, несмотря на то, что благодаря очень глубоким и в высшей степени интересным исследованиям Хилла открыты важные свойства решений. [c.378] Эти уравнения при а = ту = переходят в уравнения (6) 2. Выбор единиц мы сделаем несколько позже. [c.379] Проведенные Хиллом исследования периодических орбит в окрестности массы относятся к случаю, когда масса гпу весьма велика по сравнению с ТОг- Его метод, впрочем, может быть применен при произвольном значении тпу. Мы ограничимся здесь рассмотрением случая, исследованного Хиллом и имеющего важные астрономические приложения. [c.381] Заметим, однако, что это свойство утрачивается, если массы Шу и тпг одного порядка, и в этом случае надлежит использовать уравнения (7). [c.382] Эта кривая, конечно, представляет упрощенную форму общей граничной кривой астероидной задачи трех тел, которая была обстоятельно исследована в 3, поэтому мы лишь вскользь упомянем о свойствах кривой (10 ). [c.382] Каждому значению соответствует определенное значение р, значит, граничная кривая симметрична относительно оси . Каждому значению р соответствует либо два значения , либо-ни одного. Эти значения равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Кривая также симметрична относительно оси т]. Она является алгебраической кривой шестого порядка. [c.382] Когда т] неограниченно возрастает, то стремится к одному из этих предельных значений, и кривая имеет две прямолинейные асимптоты, параллельные оси т], расположенные на расстоянии I = + у. Расположение кривой между этими линиями зависит от значений С. [c.382] Если С весьма велико, то кривая состоит из очень малой замкнутой кривой около и двух ветвей, неограниченно приближающихся к асимптотам (рис. 31). [c.382] Определенные таким образом точки совпадают с точками либрации и 2 (рис. 32). [c.383] При отыскании периодических решений дифференциальных уравнений (9) можно избрать два различных пути. Можно исходить из определенных начальных условий, вычислять при помощи численного интегрирования соответствующие орбиты и варьировать начальные условия до тех пор, пока не получим кривой,. [c.383] Учитывая сложную структуру уравнений (9), едва ли представляется целесообразным испытывать последний метод. Тем не менее Хилл имел смелость приняться за решение этой проблемы и ему действительно удалось преодолеть трудности задачи и решить ее по крайней мере для одного важного на практике случая. [c.384] Главным препятствием на этом пути является наличие в дифференциальных уравнениях отрицательных степеней расстояния р. Очевидно, что трудности преодолеть не удается, если непосредственно пользоваться уравнениями (9) и строить рекуррентные формулы для коэффициентов. [c.384] Можно заменить исходные дифференциальные уравнения (9) уравнением (14 ) и первым из уравнений (14). Постоянную С будем считать известной. Вводя для и к] ряды Фурье, для их коэффициентов получим рекуррентные формулы второго порядка, которые содержат все бесконечное число коэффициентов. Уравнения (9) привели бы к рекуррентным формулам восьмого порядка. Вывод рекуррентных формул был выполнен Хиллом следующим образом. [c.384] Из периодических орбит, допускаемых данными дифференциальными уравнениями, мы рассмотрим только те, которые в какой-либо момент времени пересекают ось абсцисс % под прямым углом. К этой категории орбит принадлежат те, для которых точка Р после одного оборота вокруг возврап ается в прежнее положение. Еслп для постоянной интегрирования i выбрать такое значение, что орбита будет пересекать ось абсцисс под прямым углом в момент i , то, очевидно, для такой орбиты координата выразится рядом Фурье, в котором будут содержаться только косинусы кратных v (t — t ), в то время как координата т) представится соответствующим рядом по синусам. Свои исследования Хилл ограничивает такими орбитами, которые в момент to пересекают ось I под прямым углом. [c.387] В этих формулах г и / принимают все целые числовые значения от —оо до +00. [c.389] Легко видеть, что эти два уравнения идентичны. Действительно, если в (30) i заменить на i + /, а затем / на —/, то это уравнение перейдет в (31). Следовательно, как для положительных, так и для отрицательных значений / следует рассматривать только одно из этих уравнений. [c.390] НИЙ (31) В окрестности т = оо, хотя это исследование представляется связанным с трудностями (можно, вероятно, показать, что для таких орбит ряды Фурье непригодны). [c.391] Далее находим, что в (30) и (31) содержатся также и другие члены, которые имеют множителем а,- и а у, однако эти члены имеют форму 7и а ,- или умножаются на степени т выше четвертой. Кроме того, можно вывести, что все члены в (30) и (31), еслп для коэффициентов предполагается форма (32), по крайней мере порядка т , и что в членах порядка имеются только коэффициенты а , а 1, а а,. . . , а з, , г Таким образом, эти уравнения пригодны для определения коэффициентов а ,-методом последовательных приближений. [c.391] Чем больше радиус сходимости, тем быстрее уменьшаются по абсолютной величине коэффициенты Л . Итак, если возможно вместо тп ввести величину х, которая мало отличается от тп, и еслп будет показано, что разложение по степеням х обладает ббльшим радиусом сходимости, чем Ч б, то разложение коэффициентов ai по степеням х предпочтительнее, чем разложение по степеням т. [c.393] Вернуться к основной статье