ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Периодические решения в окрестности точек либрации из "Небесная механика " Прп выводе лагранжевых решений мы будем следовать методу, данному Лапласом в его Небесной механике , т. IV. Правда, он слабее методов Лагранжа, поскольку отчасти связан с геометрическими рассуждениями. Но именно благодаря этому он выявляет механическую природу этих решений, н позднее нам представится случай аналитическим путем вновь установить особые точки, соответствующие лагранжевым решениям. [c.343] Лаплас исходит из замечания о том, что точные и простые решения задачи п тел удается установить при следующих условиях. Предполагая, что п тел в начальный момент расположены в плоскости так, что равнодействующая приложенных к каждой массе сил проходит через общш 1 центр масс G и полагая, что эти равнодействующие по своей величине пропорциональны расстоянию от G, очевидно, получим, что массы всегда будут оставаться в одних и тех же взаимных положениях, еслп вся система будет вращаться вокруг G с такой угловой скоростью, что соответствующая вращению центробежная сила будет равна упоминавшейся равнодействующей. [c.343] Движение происходит таким образом, как если бы каждая масса притягивалась центром инерции с сплоп, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Таким образом, каждая масса описывает коническое сечение, фокус которого находится в центре инерции. Расстояния между массами всегда образуют равносторонний треугольник, п если конические сечения будут параболами или гиперболами, то расстояния могут неограниченно возрастать. Это первое из найденных Лагранжем точных решений задачи трех тел. [c.346] Соотношение (3) выразится следующим образом т — тп ] , — т = 0. [c.347] Пусть даны трп тела с произвольными массами т, т и т . Пусть массы т и т находятся друг от друга на произвольном расстоянии. Тогда на прямой линии между т п нг всегда имеется определенное положение для т, которому соответствует точное решение задачи трех тел. Еслп массы различны по величине, то всегда имеются трп различные конфигурации, которым соответствуют точные решения, в зависимости от того, наибольшая, наименьшая или третья масса лежит посередине. [c.348] Описываемые тремя массами орбиты в этом случае будут коническими сечениями, фокусы которых лежат в центре масс. В следующих параграфах нам представится случай изучить эти решения более подробно. [c.348] В начале этого параграфа согласно Лапласу утверждалось, что для существования точных решений не обязательно, чтобы начальная скорость была перпендикулярна к прямой, соединяющей массы с центром инерции, но достаточно, чтобы начальные скорости различных масс составляли один и тот же угол с этой прямой, если только величины начальных скоростей пропорциональны расстоянию до центра масс. Так как справедливость этого утверждения непосредственно не очевидна, то мы проведем доказательство. [c.348] Пусть А В — начальные положения двух масс, С — общий центр масс всей системы. [c.348] Принимая во внимание (Ь), находпм, что треугольники ЛВС и Л В С подобны. Но отсюда следует, что образованная массами конфигурация в некоторой момент будет подобна первоначальной конфигурации. Изменился только масштаб. [c.349] Во второй момент времени действующие силы таковы, что величины равнодействующих относятся друг к другу как А О В О, тогда предположения 2) и 3) будут оставаться справедливыми, и образованный массами треугольник всегда будет изменяться подобно, что и требовалось доказать. [c.349] Остается доказать, что уравнение Лагранжа (18) обладает одним действительным, более того, положительным, корнем. Для этой цели расположим члены по убывающим степеням z. [c.349] И коэффициенты при т, т и т в правой части этого уравнения будзгг всегда положительны при положительных значениях и. Итак, уравнение (18) имеет только один и притом положительный корень. [c.350] Еслп задана последовательность, в которой расположены три массы на прямой, и выбрано для расстояния между двумя внеш-Н1ШИ массами определенное значение, то существует только одно положение среднего тела, которому соответствует лагранжево точное решение задачи трех тел. Еслп изменить порядок расположения масс, то получим три, вообще говоря, различных ро-ш нпя. [c.350] Те точки, которые определяют лагранжевы точные решения задачи трех тел, мы назовем, следуя Гильдену, точками либрации. [c.350] При применении этой теоремы к планетной системе особенно интересен тот случай, когда одна из масс значительно превосходит другие. Исследуем положение точек либрации в этом случае. Будем всегда предполагать, что три массы располагаются в последовательности тп, т, т . Могут встретиться два случая 1) либо наибольшая масса является самой внешней, 2) либо она лежит посередине между двумя малыми массами. [c.350] с той же степенью приближения. [c.350] Точки либрации для масс тп и тп находятся весьма близко друг к Другу. [c.350] Трп ТОЧКИ либрации, определяемые атими формулами, обозначим через 1, 3 II Ьз- Их положения указаны на рис. 26. [c.352] Вернуться к основной статье