ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вырождение, обусловленное симметрией из "Теория твёрдого тела " Подвергая функцию fl другим операциям симметрии, можно получить коэффициенты Оц (Я) для любого элемента / . Аналогично можно построить такие коэффициенты для каждой функции f . [c.36] Может случиться, что некоторые функции // образуют такую систему, что все ее члены преобразуются только друг через друга. В этом случае такая подсистема функций образует базис некоторого представления группы. Фактически мы требуем только выполнения условия полноты системы по отношению к операциям симметрии (они должны входить в данную группу). Полученное представление группы содержит матрицы О (Я) для любой операции симметрии Я. Матричными элементами матрицы, представляющей Я, являются коэффициенты Оц, полученные выше, причем первый индекс обозначает строку, а второй — столбец матрицы. [c.36] Это соотношение совпадает с обычным правилом умножения матриц и показывает, что таблица умножения этих матриц действительно эквивалентна таблице умножения группы. [c.37] В теории групп принято говорить, что функции образуют йизис данного представления группы. Иногда эти функции преобразуются по данному представлению тогда говорят, что они принадлежат данному представлению. [c.37] Если мы предусмотрительно не выбрали специальную систему функций /у, то индекс / будет пробегать здесь все возможные значения. [c.37] Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях /ь находим, что представление элемента из группы симметрии коммутирует с матрицей гамильтониана. Для получения этого утверждения мы использовали тот факт, что операции симметрии переводят гамильтониан в себя. [c.37] Полученный результат справедлив при любом выборе ортонор-мированной системы функций Если система // выбрана произвольно, то для построения матрицы гамильтониана потребуется большое число функций //, и соответствующее представление группы симметрии будет иметь очень высокую размерность. Если, с другой стороны, взять в качестве функций /г собственные состояния гамильтониана, то действие на них гамильтониана сведется к умножению их на некоторое число (собственное значение энергии), и матрица гамильтониана окажется диагональной. Любое преобразование симметрии должно поэтому переводить либо в себя, либо в вырожденное состояние. Размерность представления, порожденного данной функцией / , не может превышать степень вырождения состояния. Таким образом, между размерностью представления группы и степенью вырождения состояния, породившего это представление, существует тесная связь. В частности, если под действием неприводимого представления все состояния некоторой совокупности преобразуются друг через друга, то это означает, что и под действием операции симметрии эти состояния будут преобразовываться друг через друга, т. е. мы не можем найти никакой линейной комбинации (никакого унитарного преобразования), представляющей исключение. Из симметрии гамильтониана поэтому следует, что эти состояния должны быть вырожденными. Мы пришли тем самым, правда с помощью интуитивных соображений, к одному из важных результатов теории групп. Если группа симметрии гамильтониана имеет многомерные неприводимые представления, это означает, что собственные состояния гамильтониана должны быть вырожденными. [c.38] Любая матрица, коммутируюш/ая со всеми матрицами некоторого неприводимого представления, должна быть кратной единичной матриц. [c.38] Отсюда непосредственно следует, что если все функции некоторой совокупности преобразуются друг через друга под действием гамильтониана, а под действием операций симметрии преобразуются по некоторому неприводимому представлению группы симметрии, то эти функции должны быть вырожденными собственными состояниями гамильтониана. [c.38] Принято говорить, что неприводимое представление, по которому преобразуются собственные состояния гамильтониана, описывает симметрию этих состояний. Так, например, если состояние преобразуется по одномерному представлению, то соответствующая волновая функция при инверсии либо не меняется вовсе, либо меняет знак. Аналогично три вырожденных состояния при вращении на 90° переходят друг в друга в точности так же, как три вектора. [c.38] Возможно, конечно, что у гамильтониана есть вырожденные собственные состояния, обладающие различной симметрией. Такое вырождение определяется конкретным видом гамильтониана, а ие просто его симметрией, и называется случайным вырождением. Следует ожидать, что случайное вырождение снимается любой модификацией гамильтониана, даже если она сохраняет первоначальную симметрию. [c.39] Выше МЫ показали, что, зная представление, которому принадлежат собственные состояния, можно судить о степени их вырождения. Кроме того, если известны представления, то можно кое-что сказать и о свойствах симметрии волновых функций. Например, для гамильтониана, имеющего симметрию треугольника, мы знаем, что любое собственное состояние, принадлежащее представлению А1, под действием любых операций симметрии группы треугольника не изменяется. Отсюда следует, что волновая функция этого состояния обладает симметрией треугольника. Если состояние принадлежит представлению Аг, то оно не изменяется при вращениях, но меняет знак при отражении. Мы можем заключить, что волновая функция обращается в нуль вдоль высот треугольника. Упомянутые волновые функции схематически представлены на фиг. 13. Наконец, известно, что собственные состояния, принадлежащие представлению Аз, преобразуются так же, как р-состояния, т. е. как координаты. В двумерном случае такие состояния образуют пары, их конкретный вид будет найден после обсуждения колебаний молекул. В случае группы треугольника мы не ожидаем появления трехкратного вырождения, поскольку нет трехмерных неприводимых представлений группы. Ниже будет показано, каким образом можно убедиться, что мы нашли все неприводимые представления этой группы. [c.40] Вернуться к основной статье