ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Тела вообще из "Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред " Другими словами, есть часть самого себя, 0 не является частью йикакой другой своей части, и если 0—часть а Ф — часть ЗИ), то — часть 5И). Аксиому В2 можно выразить еще так тело представляет собой наибольшую из своих собственных частей. [c.16] Чтобы составить себе наглядное представление об этих соотношениях между телами, полезно рассмотреть случай, когда 2 — множество всех открытых подмножеств эвклидовой плоскасти, а в качестве берется сг (знак включения) в этом случае можно рисовать схематические чертежи, иллюстрирующие наши соотношения. Эта нллюстращ1я — всего лишь одна нз многих.-Другие примеры вселенных, применяемых в. механике, будут рассмотрены в следующем параграфе. [c.16] Полагай и используя (7), показать, что единственной частью какого-либо тела, отделенной от него самого, является О. [c.18] нам нужно иметь понятие окружающего мйра для данного тела В . [c.18] Введем следующую аксиому. [c.18] Пример, приведенный непосредственно перед упр. 1.2.2, показывает, что аксиому В4 нельзя вывести из аксиом В1—ВЗ, поскольку точки, лежащие вне интервала [О, 1), не образуют полуоткрытого интервала. [c.18] Теперь мы постулируем, что справедливо и обратное. [c.19] Аксиома В5. Единственными телами, отделенными от являются части тела W. [c.19] Хотя доказано ), что аксиома В5 не вытекает из аксиом В1—В4, никакого простого примера, иллюстрирующего этот факт, по-видимому, до сих пор ие известно. [c.19] Рассмотрение соответствующих рисунков делает очевидным и это утверждение, и доказательство следующей теоремы (в которой предполагается, что все встречающиеся наложения и соединения существуют). [c.19] Тогда согласно (25)з Пусть /, — какая-либо общая часть и эФ1. [c.20] И 4-4 к Таким образом, тело в правой части (35), если оно существует, содержит любую общую часть тел. 9 1 V. 9 2 и 3 . Так как по определению наложения оно тривиально является общей частью тел э4 У и 3), то оно есть Фх V 4 Л Рассуждения в случае, когда предполагается, что существует тело в левой части, совершенно аналогичны. [c.21] Аксиома Вв. Цля всех тел и наложение суще-ствует. [c.21] В следующем параграфе мы увидим на примере, что аксиома В6 не является следствием аксиом В1 — В5. Приняв ее, можно опустить все делавшиеся до сих пор оговорки относительно существования наложения и соединений, так как, согладно. (23), э4 3 . [c.21] Мы построим здесь ряд систем, удовлетворяющих аксиомам В1 — В6 и, следовательно, дающих возможные для механики вселенные. Во всех них О — некоторый класс множеств, а в качестве - выступает с , т. е. знак включения, однако Л и V совпадают с П и и, символами пересечения н объединения, только в первом примере. [c.22] Если эта совокупность конечна, то соединение представляет собой просто объединение, но для бесконечных наборов тел это не всегда так. [c.22] Этот пример дает стандартную вселенную механики сплошной среды. Размерностям 1,2 и 3 соответствуют стержни, оболочки й обычные тела. В настоищей книге будут рассматриваться только последние. [c.22] Хотя у и Зйг бесконечно много общих частей, они не имеют наложения. [c.23] Часто в механике сплошной среды было бы желательно использовать вселенную й, определяемую примером 3, поскольку ею допускается более естественный класс элементов, чем в примере 2, в случае когда речь идет об эвклидовом пространстве. Как следует из определения, тела этого типа можно отождествить с областями, к которым применима теорема о дивергенции для всех гладких векторных полей ). К сожалению, для этого конкретного вида вселенной строгйя теория пока еще не разработана. Что трудности здесь существенны, можно видеть нз только что приведенного примера, который показывает, что пересечение двух областей, в каждой из которых теорема о дивергенции справедлива, не обязательно дает область, обладающую этим свойством. [c.23] Вернуться к основной статье